Ordnungstreue Abbildung/Potenzmengeneinbettung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}(M_{1},\leq _{1})$ und ${}(M_{2},\leq _{2})$ zwei Mengen, auf denen jeweils eine Ordnung definiert ist. Eine Abbildung

$F\colon M_{1}\longrightarrow M_{2},\,x\longmapsto F(x),$

heißt ordnungstreu (oder monoton), wenn für alle  ${}x,x'\in M_{1}$  mit  ${}x\leq _{1}x'$  stets auch  ${}F(x)\leq _{2}F(x')$  gilt.

Monotone Abbildungen zwischen ${}\mathbb {R}$ und ${}\mathbb {R}$ sind aus den Anfängervorlesungen bekannt. Ordnungstreue Abbildungen sind einfach die relationstreuen Abbildungen, wenn die beteiligten Relationen Ordnungen sind.

Definition

Es seien ${}(M_{1},\leq _{1})$ und ${}(M_{2},\leq _{2})$ zwei Mengen, auf denen jeweils eine Ordnung definiert ist. Eine Abbildung

$F\colon M_{1}\longrightarrow M_{2},\,x\longmapsto F(x),$

heißt ordnungsvolltreu, wenn für alle  ${}x,x'\in M_{1}$  genau dann  ${}x\leq _{1}x'$  gilt, wenn  ${}F(x)\leq _{2}F(x')$  gilt.

Wenn ${}M_{1}$ total geordnet und die Abbildung injektiv ist, so muss man nicht zwischen ordnungstreu und ordnungsvolltreu unterscheiden, sonst aber schon. Zu eine Teilmenge einer geordneten Menge mit der induzierten Ordnung ist die Inklusion ordnungsvolltreu. Wenn man dagegen eine Teilmenge mit einer schwächeren Ordnung, beispielsweise der identischen Ordnung versieht, so ist die Inklusion zwar ordnungstreu, aber nicht ordnungsvolltreu. Eine ordnungsvolltreue Abbildung ist stets injektiv.

Lemma

Es sei ${}(M,\leq )$ eine geordnete Menge und ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ die Potenzmenge von ${}M$.

Dann ist die Abbildung

$M\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,x\longmapsto {\left\{y\in M\mid y\leq x\right\}},$

ordnungsvolltreu und injektiv ist, wobei die Potenzmenge mit der Inklusion versehen ist.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Diese Aussage besagt, dass die Inklusionsbeziehung zwischen Teilmengen in einem gewissen Sinne die universelle Ordnungsbeziehung ist, da sich jede geordnete Menge als Unterobjekt davon realisieren lässt. Beispielsweise gilt für reelle Zahlen die Beziehung  ${}t\leq s$  genau dann, wenn

${}[-\infty ,t]\subseteq [-\infty ,s]\,$

gilt. Allerdings muss man dafür auch einen hohen Preis bezahlen, nämlich, dass man einfache Elemente mit großen Mengen identifizieren und dann unnötigen Ballast mitschleppen muss, und dass man total geordnete Mengen in nicht total geordnete Mengen einbettet. Dennoch sind solche und ähnliche universelle Überlegungen für theoretische Überlegungen wichtig, siehe Aufgabe, oder das Konzept der durch eine ganze Zahl erzeugten Untergruppe oder Fakt, oder die Definition einer Äquivalenzklasse für ähnliche Konstruktionen.

Wir erwähnen noch die folgende Variante einer ordnungstreuen Abbildung.

Definition

Es seien ${}(M_{1},\leq _{1})$ und ${}(M_{2},\leq _{2})$ zwei Mengen, auf denen jeweils eine Ordnung definiert ist. Eine Abbildung

$F\colon M_{1}\longrightarrow M_{2},\,x\longmapsto F(x),$

heißt monoton fallend, wenn für alle  ${}x,x'\in M_{1}$  mit  ${}x\leq _{1}x'$  stets  ${}F(x)\geq _{2}F(x')$  gilt.

Statt monoton fallend sagt man manchmal auch antimonoton. Dies ist nicht ein wirklich eigenständiger Begriff, da man ja eine Ordnungsrelation wie jede Relation auf einer Menge umkehren kann, also die Rolle der beiden Elemente vertauschen kann.