P-konvexe Subadditivität

Einleitung

Bei Folgenräumen mit bildet die Menge der absolut $p$ -summierbaren Reihen:

\ell _{p}(\mathbb {K} ):=\{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }\,|\,\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}<\infty \}

einen $\mathbb {K}$ -Vektorraum. In dieser Lerneinheit wird gezeigt, dass auch für $0<p<1$ die Dreiecksungleichung für die $p$ -Norm gilt. Die gezeigte Ungleichung in $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ führt zur Dreiecksungleichung der $p$ -Norm.

Normierbarkeit

Für $1\leq p<\infty$ ist, der Raum normierbar. Die Norm auf dem Folgenraum ist dabei wie folgt definiert:

\|(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}

Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung erhält die Dreieckungleichung für diese Norm.

Metrisierbarkeit

Für $0<p<1$ ist der Raum lokal beschränkt und noch metrisierbar. Der Abstand zwischen zwei Folgen $a:=(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und $b:=(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $a,b\in \ell _{p}(\mathbb {K} )$ kann dann z.B. mit der folgenden Metrik berechnet werden:

d(a,b):=d((a_{n})_{n\in \mathbb {N} },(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }):=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}-b_{n}|^{p}

Mit dieser Metrik wird $\ell _{p}(\mathbb {K} )$ zu einem topologischen Vektorraum.

p-Normierbarkeit

Für $0<p<1$ ist, der Raum p-normierbar. Die p-Norm auf dem Folgenraum ist dabei wie folgt definiert:

\|(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}=\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}

Mit dem folgenden Lemma zur p-konvexen Subadditivität erhält man neben der offensichtlichen p-Homogenität auch die Dreieckungleichung für diese p-Norm.

Lemma - Subadditivität p-Konvexität

Sei ${\textstyle \mathbb {K} }$ ein Körper mit ( ${\textstyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$ ) und ${\textstyle 0<p<1}$ , dann gilt für alle ${\textstyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} }$

|\alpha +\beta |^{p}\leq |\alpha |^{p}+|\beta |^{p}.

Beweis - Subadditivität - p-Konvexität

Der Beweis erfolgt ohne Einschränkung über eine Fallunterscheidung bzgl.

Fall 1: $\alpha =0$ und
Fall 2: $\alpha \not =0$

Beweis - Fall 1

Für ${\textstyle \alpha =0}$ folgt die Behauptung unmittelbar und es gilt sogar die Gleichheit mit:

|\alpha +\beta |^{p}=|\beta |^{p}=0+|\beta |^{p}=\underbrace {|\alpha |^{p}} _{=0}+|\beta |^{p}

Beweis - Fall 2

Für ${\textstyle \alpha \not =0}$ formuliert man die Behauptung

|\alpha +\beta |^{p}\leq |\alpha |^{p}+|\beta |^{p}

durch Multiplikation mit ${\textstyle {\frac {1}{|\alpha |^{p}}}}$ wie folgt um:

{\begin{array}{rcl}|\alpha +\beta |^{p}&\leq &|\alpha |^{p}+|\beta |^{p}\ \ \Longleftrightarrow \\|1+\gamma |^{p}&\leq &1+|\gamma |^{p}{\mbox{ mit }}\gamma :={\frac {\beta }{\alpha }}\\\end{array}}

Beweis - Fall 2.1 - Streng monotone Funktion

Weil die Funktion $g:\mathbb {R} _{o}^{+}\to \mathbb {R} _{o}^{+}$ mit $g(x):=x^{p}$ ein streng monotone Funktion auf $\mathbb {R} _{o}^{+}$ ist und die Dreiecksungleichung auf $(\mathbb {K} ,|\cdot |)$ gilt erhält man für $\gamma \in \mathbb {K}$ :

|1+\gamma |\leq |1|+|\gamma |\Longrightarrow g(|1+\gamma |)\leq g(|1|+|\gamma |)

und damit gilt $|1+\gamma |^{p}\leq {\big (}|1|+|\gamma |{\big )}^{p}={\big |}|1|+|\gamma |{\big |}^{p}$ .

Beweis - Fall 2.3 - Betrachtung nicht-negativer Skalare

Weil die folgende Ungleichung nach 2.2 gilt,

|1+\gamma |^{p}\leq 1+|\gamma |^{p}

benötigt man nun noch den Beweis der Abschätzung

{\big |}1+\underbrace {|\gamma |} _{=t}{\big |}^{p}\leq 1+{\underbrace {|\gamma |} _{=t}}^{p}

Beweis - Fall 2.4 - Betrachtung nicht-negativer Skalare

Weil ${\textstyle |1+\gamma |^{p}\leq |1+|\gamma ||^{p}}$ gilt, braucht man nur den letzten Term für nicht-negative Skalare ${\textstyle t\geq 0}$ abzuschätzen und man zeigt dann ${\textstyle (1+t)^{p}\leq 1+t^{p}}$ .

Beweis - Fall 2.5 - Definition einer beschränkten Funktion

Man formt die Ungleichung ${\textstyle (1+t)^{p}\leq 1+t^{p}}$ zu ${\textstyle (1+t)^{p}-t^{p}\leq 1}$ und definiert den linken Term als differenzierbare Funktion $f(t)=(1+t)^{p}-t^{p}$ mit $t\in \mathbb {R} _{o}^{+}$ .

Beweis - Fall 2.6 - Monotonieverhalten der Funktion

Durch die Betrachtung der Ableitung erhält man Informationen über das Monotonieverhalten der Funktion:

{\begin{array}{rcl}f:\mathbb {R} _{o}^{+}&\longrightarrow &\mathbb {R} ,t\longmapsto (1+t)^{p}-t^{p}{\mbox{ mit der Ableitung }}\\f':\mathbb {R} _{o}^{+}&\longrightarrow &\mathbb {R} ,t\longmapsto \underbrace {\left({\frac {1}{(1+t)^{1-p}}}-{\frac {1}{t^{1-p}}}\right)} _{<0}\cdot p\end{array}}

Beweis - Fall 2.7 - Monotonieverhalten der Funktion

Mit $t>0$ gilt $(1+t)^{1-p}>t^{1-p}$ und damit ${\frac {1}{(1+t)^{1-p}}}<{\frac {1}{t^{1-p}}}$ . Damit ist $f$ für alle $t>0$ monoton fallend. Zusammen mit dem Anfangswert und ${\textstyle f(0)=1}$ und $f'(t)<0$ für alle $t>0$ gilt ${\textstyle f(t)\leq 1}$ für alle $t\geq 0$ . Damit folgt die Behauptung. $\Box$

Dreiecksungleichung p-Norm

Nun kann man zeigen, dass für $0<p<1$ das p-homogene Gaugefunktional auf dem Folgenraum $\ell _{p}(\mathbb {K} )$ auch die Dreiecksungleichung erfüllt.

Abschätzung

{\begin{array}{rcl}\|a+b\|_{p}&=&\|(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}=\|(a_{n}+b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}\\&=&\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}+b_{n}|^{p}\leq \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}+|b_{n}|^{p}\\&=&\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}+\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|^{p}=\|a\|_{p}+\|b\|_{p}\\\end{array}}

Es gilt also $\|a+b\|_{p}\leq \|a\|_{p}+\|b\|_{p}$ für alle $a,b\in \ell _{p}(\mathbb {K} )$ .

p-Homogenität

Mit beliegen $\lambda \in \mathbb {K}$ erhält man ferner die p-Homogenität, denn es gilt

{\begin{array}{rcl}\|\lambda \cdot a\|_{p}&=&\|\lambda \cdot (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}=\|(\lambda \cdot a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\|_{p}\\&=&\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|\lambda \cdot a_{n}|^{p}=\sum _{n=1}^{\infty }|\lambda |^{p}\cdot |a_{n}|^{p}\\&=&|\lambda |^{p}\cdot \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}=|\lambda |^{p}\cdot \|a\|_{p}\\\end{array}}

Definitheit der p-Norm

Die Trennungseigenschaft (P1) der p-Norm erhält man unmittelbar, denn ist $0_{_{V}}=(0)_{n\in \mathbb {N} }$ Nullvektor im Folgenraum $\ell _{p}(\mathbb {K} )$ , dann gilt auch: