Parabel/Potenzreihenansatz für Wurzel/Aufgabe/Lösung

Es sei

P = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} T^{n} .

Die Kurvengleichung führt zur Bedingung

T + 1 - {(\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} T^{n})}^{2} = 0 .

Für den konstanten Koeffizienten ergibt sich $1 = a_{0}^{2}$ , wobei $a_{0} = 1$ zu nehmen ist, da dieser Punkt vorgegeben ist. Der Koeffizient vor $T$ ist

1 - 2 a_{0} a_{1} = 1 - 2 a_{1},

woraus

a_{1} = \frac{1}{2}

folgt. Der Koeffizient vor $T^{2}$ ist

2 a_{0} a_{2} + a_{1}^{2} = 2 a_{2} + \frac{1}{4},

also ist

a_{2} = - \frac{1}{8} .

Der Koeffizient vor $T^{3}$ ist

2 a_{0} a_{3} + 2 a_{1} a_{2} = 2 a_{3} - 2 \frac{1}{16},

also ist

a_{3} = \frac{1}{16} .

Der Koeffizient vor $T^{4}$ ist

2 a_{0} a_{4} + 2 a_{1} a_{3} + a_{2}^{2} = 2 a_{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} = 2 a_{4} + \frac{5}{64},

also ist

a_{4} = - \frac{5}{128} .

Zur gelösten Aufgabe