Parabel/Potenzreihenansatz für Wurzel/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}P=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}\,.$

Die Kurvengleichung führt zur Bedingung

${}T+1-{\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}\right)}^{2}=0\,.$

Für den konstanten Koeffizienten ergibt sich  ${}1=a_{0}^{2}$,  wobei  ${}a_{0}=1$  zu nehmen ist, da dieser Punkt vorgegeben ist. Der Koeffizient vor ${}T$ ist

${}1-2a_{0}a_{1}=1-2a_{1}\,,$

woraus

${}a_{1}={\frac {1}{2}}\,$

folgt. Der Koeffizient vor ${}T^{2}$ ist

${}2a_{0}a_{2}+a_{1}^{2}=2a_{2}+{\frac {1}{4}}\,,$

also ist

${}a_{2}=-{\frac {1}{8}}\,.$

Der Koeffizient vor ${}T^{3}$ ist

${}2a_{0}a_{3}+2a_{1}a_{2}=2a_{3}-2{\frac {1}{16}}\,,$

also ist

${}a_{3}={\frac {1}{16}}\,.$

Der Koeffizient vor ${}T^{4}$ ist

${}2a_{0}a_{4}+2a_{1}a_{3}+a_{2}^{2}=2a_{4}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}=2a_{4}+{\frac {5}{64}}\,,$

also ist

${}a_{4}=-{\frac {5}{128}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe