Permutation/8/25371486/45286713/Produkt/Fehlstände/Vorzeichenberechnung/Aufgabe/Lösung

Die Produkte der beiden Permutationen sind als Wertetabellen geschrieben

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\tau \sigma (x)$	${}5$	${}6$	${}2$	${}1$	${}4$	${}8$	${}3$	${}7$

und

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}\sigma \tau (x)$	${}7$	${}1$	${}5$	${}6$	${}4$	${}8$	${}2$	${}3$

Die Fehlstände von ${}\tau$ sind

$(1,3),\,(1,7),\,(1,8),\,(2,3),\,(2,7),\,(2,8),\,(3,7),\,(4,5),\,(4,6),\,(4,7),\,(4,8),\,(5,7),\,(5,8),\,(6,7),\,(6,8).$

Das sind also ${}15$ Fehlstände und damit ist das Vorzeichen ${}-1$.

Die Zyklendarstellung von ${}\sigma$ ist (wir führen auch die Fixpunkte auf)

$\langle 1,\,2,\,5\rangle \langle 3\rangle \langle 4,\,7,\,8,\,6\rangle .$

Daher hat ${}\sigma ^{3}$ die Zyklendarstellung

$\langle 1\rangle \langle 2\rangle \langle 5\rangle \langle 3\rangle \langle 4,\,6,\,8,\,7\rangle .$

Die Ordnung von ${}\sigma$ ist ${}12$, da ein Dreierzyklus und ein Viererzyklus beteiligt sind.

Zur gelösten Aufgabe