Permutationen/243615/Verschiedene Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

a) Es geht $3$ auf $3$ und $1\mapsto 2\mapsto 4\mapsto 6\mapsto 5\mapsto 1$, die Zyklendarstellung ist also

$⟨1,2,4,6,5⟩$

und der Wirkungsbereich ist $\{1,2,4,5,6\}$.

b) Die Ordnung kann man direkt aus dem einzigen nichttrivialen Zyklus ablesen, sie ist $5$.

c) Die Fehlstände von $\tau$ sind

$(1,5),(2,3),(2,5),(3,5),(4,5),(4,6).$

Das sind insgesamt $6$ Fehlstände, daher ist das Vorzeichen $1$.

d) Es ist, wie man leicht überprüft,

$\tau =⟨4,5⟩\circ ⟨5,6⟩\circ ⟨2,4⟩\circ ⟨1,2⟩.$

Dies ist das Produkt von $4$ Transpositionen, sodass sich erneut ergibt, dass das Vorzeichen $-1$ ist.

Zur gelösten Aufgabe