Permutationen/243615/Verschiedene Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

a) Es geht ${}3$ auf ${}3$ und ${}1\mapsto 2\mapsto 4\mapsto 6\mapsto 5\mapsto 1$, die Zyklendarstellung ist also

$\langle 1,2,4,6,5\rangle$

und der Wirkungsbereich ist ${}\{1,2,4,5,6\}$.

b) Die Ordnung kann man direkt aus dem einzigen nichttrivialen Zykel ablesen, sie ist ${}5$.

c) Die Fehlstände von ${}\tau$ sind

$(1,5),\,(2,3),\,(2,5),\,(3,5),\,(4,5),\,(4,6).$

Das sind insgesamt ${}6$ Fehlstände, daher ist das Vorzeichen ${}1$.

d) Es ist, wie man leicht überprüft,

${}\tau =\langle 4,5\rangle \circ \langle 5,6\rangle \circ \langle 2,4\rangle \circ \langle 1,2\rangle \,.$

Dies ist das Produkt von ${}4$ Transpositionen, sodass sich erneut ergibt, dass das Vorzeichen ${}-1$ ist.

Zur gelösten Aufgabe