Permutationsmatrix/Zyklus/Durchnummeriert/C/Eigentheorie/Fakt

Zu einer Permutationsmatrix ${}M_{\rho }$ über ${}{\mathbb {C} }$ zu einem Zyklus  ${}\rho \in S_{n}$  mit ${}\rho :1\mapsto 2\mapsto \ldots \mapsto k\mapsto 1$

und einer ${}k$-ten Einheitswurzel ${}\zeta$ sind die Vektoren

${}v_{\zeta }:=\zeta ^{k-1}e_{1}+\zeta ^{k-2}e_{2}+\cdots +\zeta e_{k-1}+e_{k}\,$

Eigenvektoren von ${}M_{\rho }$ zum Eigenwert ${}\zeta$.

Insbesondere ist eine Permutationsmatrix zu einem Zykel über ${}{\mathbb {C} }$ diagonalisierbar.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen