Polynom/Bezout/X^3+1 und X^2-1/Aufgabe/Lösung

Beide Polynome haben ${}-1$ als Nullstelle, es ist

${}X^{3}+1={\left(X+1\right)}{\left(X^{2}-X+1\right)}\,$

und

${}X^{2}-1={\left(X+1\right)}{\left(X-1\right)}\,.$

Wir arbeiten mit den beiden Gegenfaktoren weiter. Es ist

${}X^{2}-X+1=X{\left(X-1\right)}+1\,,$

somit sind die beiden Polynome teilerfremd und es gibt die Darstellung

${}X^{2}-X+1-X{\left(X-1\right)}=1\,.$

Deshalb ist

${}{\left(X^{3}+1\right)}-X{\left(X^{2}-1\right)}=X+1\,$

und ${}X+1$ ist der größte gemeinsame Teiler der beiden Ausgangspolynome.

Zur gelösten Aufgabe