Polynom/X^6-1/Primfaktorzerlegung über Q, R, C, Z mod 7, Z mod 5/Aufgabe/Lösung

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Es ist (über jedem Körper)

Dies kann man direkt bestätigen, es ergibt sich aber auch aus der Produktzerlegung von mit Hilfe der Kreisteilungspolynome. Über den komplexen Zahlen ist

Da davon vier Nullstellen imaginär sind, müssen die beiden quadratischen Polynome von oben über und über irreduzibel sein, so dass die obige Faktorzerlegung über diesen Körpern die Primfaktorzerlegung ist.

Über gilt aufgrund des kleinen Fermat für jede Einheit . Daher ist die Faktorzerlegung

Über haben die beiden Polynome und keine Nullstelle, sind also irreduzibel, und daher ist die obige Zerlegung auch die Primfaktorzerlegung über .