Polynom/X^6-1/Primfaktorzerlegung über Q, R, C, Z mod 7, Z mod 5/Aufgabe/Lösung

Es ist (über jedem Körper)

${}{\begin{aligned}X^{6}-1&=(X^{2}-1)(X^{4}+X^{2}+1)\\&=(X-1)(X+1)(X^{4}+X^{2}+1)\\&=(X-1)(X+1)(X^{2}+X+1)(X^{2}-X+1).\end{aligned}}$

Dies kann man direkt bestätigen, es ergibt sich aber auch aus der Produktzerlegung von ${}X^{6}-1$ mit Hilfe der Kreisteilungspolynome. Über den komplexen Zahlen ist

${}X^{6}-1=\prod _{k=0}^{5}(X-e^{\frac {2\pi {\mathrm {i} }k}{6}})\,.$

Da davon vier Nullstellen imaginär sind, müssen die beiden quadratischen Polynome von oben über ${}\mathbb {Q}$ und über ${}\mathbb {R}$ irreduzibel sein, sodass die obige Faktorzerlegung über diesen Körpern die Primfaktorzerlegung ist.

Über ${}\mathbb {Z} /(7)$ gilt aufgrund des kleinen Fermat für jede Einheit ${}x^{6}=1$. Daher ist die Faktorzerlegung

${}X^{6}-1=(X-1)(X-2)(X-3)(X-4)(X-5)(X-6)\,.$

Über ${}\mathbb {Z} /(5)$ haben die beiden Polynome ${}X^{2}+X+1$ und ${}X^{2}-X+1$ keine Nullstelle, sind also irreduzibel, und daher ist die obige Zerlegung auch die Primfaktorzerlegung über ${}\mathbb {Z} /(5)$.

Zur gelösten Aufgabe