Polynomiale Abbildung/A^2 nach A^1/Eine Faser reduzibel, sonst irreduzibel/Aufgabe/2/Lösung

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},\,(x,y)\longmapsto xy.$

Die Faser über dem Nullpunkt ist das Achsenkreuz ${}V(xy)=V(x)\cup V(y)$, das nicht irreduzibel. Die Faser über einem Punkt ${}\lambda \in K$, ${}\lambda \neq 0$, ist ${}V(xy-\lambda )$. Es genügt zu zeigen, dass ${}xy-\lambda$ ein Primpolynom ist. In einer nichttrivialen Zerlegung des Polynoms können nur Linearfaktoren vorkommen, d.h.

${}XY-\lambda =(aX+bY+c)(rX+sY+t)\,.$

Daber muss ${}ar=0$ und ${}bs=0$ sein, woraus (o. E.) ${}r=0$ und ${}b=0$ folgt. Durch Umskalierung liegt dann

${}XY-\lambda =(X+c)(Y+t)\,$

vor. Daraus folgt aber direkt ${}c=0$ und ${}t=0$ im Widerspruch zu ${}\lambda \neq 0$.

Zur gelösten Aufgabe