Polynomialfunktion/R/Totale Differenzierbarkeit/Nullpunkt/Explizit/Aufgabe/Kommentar

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Da wir es hier mit einer polynomialen Funktion zu tun haben, hat die Form

wobei nur endlich viele der ungleich Null sind. Nach Fakt sind diese total differenzierbar und nach Fakt stimmt das totale Differential mit der Jacobi-Matrix überein.

Wir betrachten ein einfaches Beispiel in zwei Variablen. Sei . Die Jacobi-Matrix ist dann durch gegeben und ist insbesondere im Punkt gleich . Wegen der Definition der Differenzierbarkeit lässt sich , mit aus einer Umgebung von , schreiben als

Nach einsetzen aller bekannten Größen, erhalten wir

Falls ist liefert Auflösen nach

Dass diese Funktion in stetig fortgesetzt werden kann und dort auch gleich Null ist, folgt direkt aus der obigen Gleichung, da total differenzierbar und in Null stetig ist. Wir sehen also, dass die Funktion die Terme des Polynoms mit Grad größer als beinhaltet und zusätzlich durch dividiert wird. Der affin lineare Teil des Polynoms (Terme vom Grad kleiner oder gleich ) werden durch die ersten beiden Summanden der linearen Approximation abgedeckt.

Für ein allgemeines Polynom folgt das Ganze auf gleicher Art und Weise.
Zur kommentierten Aufgabe