Polynomialfunktion/R/Totale Differenzierbarkeit/Nullpunkt/Explizit/Aufgabe/Kommentar

Da wir es hier mit einer polynomialen Funktion zu tun haben, hat ${}f$ die Form

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x^{\nu }=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,,$

wobei nur endlich viele der ${}\nu$ ungleich Null sind. Nach Fakt sind diese total differenzierbar und nach Bemerkung stimmt das totale Differential mit der Jacobi-Matrix überein.

Wir betrachten ein einfaches Beispiel in zwei Variablen. Sei ${}f(x,y)=xy+x+y+1$. Die Jacobi-Matrix ist dann durch ${}(y+1,x+1)$ gegeben und ist insbesondere im Punkt ${}(0,0)$ gleich ${}(1,1)$. Wegen der Definition der Differenzierbarkeit lässt sich ${}f(v)$, mit ${}v=(v_{1},v_{2})$ aus einer Umgebung von ${}(0,0)$, schreiben als

$f(v_{1},v_{2})=f(0,0)+(1,1)\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}+\lVert v\rVert r(v).$

Nach einsetzen aller bekannten Größen, erhalten wir

$v_{1}v_{2}+v_{1}+v_{2}+1=1+v_{1}+v_{2}+\lVert v\rVert r(v).$

Falls ${}v\neq 0$ ist liefert Auflösen nach ${}r$

$r(v)={\frac {v_{1}v_{2}}{\lVert v\rVert }}.$

Dass diese Funktion in ${}0$ stetig fortgesetzt werden kann und dort auch gleich Null ist, folgt direkt aus der obigen Gleichung, da ${}f$ total differenzierbar und in Null stetig ist. Wir sehen also, dass die Funktion ${}r$ die Terme des Polynoms mit Grad größer als ${}1$ beinhaltet und zusätzlich durch ${}\lVert v\rVert$ dividiert wird. Der affin lineare Teil des Polynoms (Terme vom Grad kleiner oder gleich ${}1$) werden durch die ersten beiden Summanden der linearen Approximation abgedeckt.

Für ein allgemeines Polynom folgt das Ganze auf gleicher Art und Weise.

Zur kommentierten Aufgabe