Polynomring/D-graduiert/D endlich/Isotropiegruppe/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}D$ eine endliche kommutative Gruppe mit der zugehörigen Charaktergruppe ${}G$. Es sei

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{r}\longrightarrow D$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit der zugehörigen Graduierung auf ${}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$ und der zugehörigen Operation von ${}G$ auf ${}K^{r}$. Es sei  ${}P=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{r}\right)\in K^{r}$  ein fixierter Punkt. Es sei  ${}I={\left\{i\mid x_{i}\neq 0\right\}}$  und sei ${}E$ die von den ${}\delta (e_{i})=\operatorname {Grad} \,(X_{i})$, ${}i\in I$, erzeugte Untergruppe von ${}D$.

1. Bestimme ${}I$ und ${}E$ für den Nullpunkt ${}\left(0,\,\ldots ,\,0\right)$.
2. Bestimme ${}I$ und ${}E$ für den Einspunkt ${}\left(1,\,\ldots ,\,1\right)$.
3. Zeige, dass die Isotropiegruppe im Punkt ${}P$ der Operation gleich

   ${\left\{g\in G\mid g{|}_{E}=1\right\}}$

   ist.

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