Polynomring/D-graduiert/D endlich/Isotropiegruppe/Aufgabe/Lösung

1. In diesem Fall ist  ${}I=\emptyset$  und somit ist

   ${}E=\{0\}\,.$

2. In diesem Fall ist  ${}I={\{1,\ldots ,r\}}$  und somit ist

   ${}E=D\,,$

   da ja die Graduierungsabbildung als surjektiv vorausgesetzt wurde.

3. Es ist

   ${}G_{P}={\left\{g\in G\mid g{|}_{E}=1\right\}}\,$

   zu zeigen. Die Wirkungsweise des Charakters ist durch

   ${}gP=g(x_{1},\ldots ,x_{r})=(g(\delta (e_{1}))x_{1},\ldots ,g(\delta (e_{r}))x_{r})\,$

   gegeben. Hierbei gilt  ${}gP=P$  genau dann, wenn

   ${}x_{i}=g(\delta (e_{i}))x_{i}\,$

   für alle ${}i$ gilt, was genau dann der Fall ist, wenn  ${}x_{i}=0$  oder  ${}g(\delta (e_{i}))=1$  ist. Wenn ${}g$ rechts dazugehört, so ist für  ${}i\in I$  die zweite Bedingung und für  ${}i\notin I$  die erste Bedingung erfüllt. Wenn ${}g$ rechts nicht dazugehört, so gibt es ein  ${}i\in I$  mit  ${}g(\delta (e_{i}))\neq 1$.  Für dieses ${}i$ ist  ${}x_{i}\neq 0$  und daher ist  ${}x_{i}\neq g(\delta (e_{i}))x_{i}$.  Also gehört ${}g$ nicht zur Isotropiegruppe.

Zur gelösten Aufgabe