Polynomring/Graduierung/Z mod 5/123/Neutrale Stufe/Aufgabe

Wir betrachten die Graduierung des Polynomringes ${}K[X,Y,Z]$ mit der graduierenden Gruppe ${}\mathbb {Z} /(5)$, bei der die Variablen die Grade  ${}\operatorname {Grad} \,(X)=1$,   ${}\operatorname {Grad} \,(Y)=2$  und  ${}\operatorname {Grad} \,(Z)=3$  bekommen. Wir möchten ein Erzeugendensystem für die Monome ${}X^{a}Y^{b}Z^{c}$ (nicht ${}1$) mit in der nullten Stufe bestimmen.

a) Bestimme die Monome ${}X^{a}Y^{b}Z^{c}$ mit minimalem Exponententupel in der nullten Stufe, bei denen jeweils zwei Exponenten gleich ${}0$ sind.

b) Bestimme die Monome ${}X^{a}Y^{b}Z^{c}$ mit minimalem Exponententupel in der nullten Stufe, bei denen jeweils ein Exponent gleich ${}0$ ist.

c) Zeige, dass die Monome aus Teil (a) und (b) zusammen sämtliche Monome der nullten Stufe erzeugen.

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