Polynomring/Restklassenring/Rechnungen/Textabschnitt

Körper werden häufig ausgehend von einem schon bekannten Körper als Restklassenkörper des Polynomrings konstruiert. Die Arithmetik in einem solchen Erweiterungskörper wird in der folgenden Aussage beschrieben.

Proposition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es sei ${}P=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\in K[X]$ ein Polynom vom Grad ${}n$ und ${}R=K[X]/(P)$ der zugehörige Restklassenring. Dann gelten folgende Rechenregeln (wir bezeichnen die Restklasse von ${}X$ in ${}R$ mit ${}x$ ).

Man kann stets ${}P$ als normiert annehmen (also $a_{n}=1$ ; das werden wir im Folgenden tun).

In ${}R$ ist ${}x^{n}=-\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}x^{i}$ .

Höhere Potenzen ${}x^{k}$ , ${}k\geq n$ , kann man mit den Potenzen ${}x^{i}$ , ${}i\leq n-1$ , ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.

Die Potenzen ${}x^{0}=1,\,x^{1}$ ${},\ldots ,x^{n-1}$ bilden eine ${}K$ -Basis von ${}R$ .

${}R$ ist ein ${}K$ -Vektorraum der Dimension ${}n$ .

In ${}R$ werden zwei Elemente ${}P=\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}x^{i}$ und ${}Q=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}x^{i}$ komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.

Beweis

Es ist ${}(P)={\left({\frac {P}{a_{n}}}\right)}$ , da es bei einem Hauptideal nicht auf eine Einheit ankommt.
Dies folgt direkt durch Umstellung der definierenden Gleichung ${}P=0$ .
Dies folgt durch Multiplikation der Gleichung in (2) mit Potenzen von ${}x$ .
Dass die Potenzen ${}x^{i}$ , ${}i=0,\ldots ,n-1$ , ein Erzeugendensystem bildet, folgt aus Teil (2) und (3). Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit sei angenommen, es gebe eine lineare Abhängigkeit, sagen wir ${}\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}x^{i}=0$ . D.h., dass das Polynom ${}Q=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}X^{i}$ unter der Restklassenabbildung auf ${}0$ geht, also zum Kern gehört. Dann muss es aber ein Vielfaches von ${}P$ sein, was aber aus Gradgründen erzwingt, dass ${}Q$ das Nullpolynom sein muss. Also sind alle ${}c_{i}=0$ .
Dies folgt direkt aus (4).
Dies ist klar.

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Beispiel

Wir betrachten den Restklassenring

{}L=\mathbb {Q} [X]/(X^{3}+2X^{2}-5)\,

und bezeichnen die Restklasse von ${}X$ mit ${}x$ . Aufgrund von Fakt besitzt jedes Element ${}f$ aus ${}L$ eine eindeutige Darstellung ${}f=ax^{2}+bx+c$ mit ${}a,b,c\in \mathbb {Q}$ , sodass also ein dreidimensionaler ${}\mathbb {Q}$ -Vektorraum vorliegt. Da ${}X^{3}+2X^{2}-5$ in ${}L$ zu ${}0$ gemacht wird, gilt