Potenzen von Endomorphismen/C/Konvergenz/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Dann heißt ${}\varphi$ asymptotisch stabil, wenn die Folge ${}\varphi ^{n}$ in ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ gegen die Nullabbildung konvergiert.

Im Folgenden werden in der reellen Situation auch die komplexen Eigenwerte eine Rolle spielen. Diese sind die komplexen Nullstellen des charakteristischen Polynoms bzw. die Eigenwerte der Matrix, wenn man sie über ${}{\mathbb {C} }$ auffasst. Sie sind nicht Eigenwerte der reellen Matrix im Sinne der Definition. Auch die jordansche Normalform, die ja im Allgemeinen nur komplex existiert, wird ebenfalls in der reellen Situation verwendet.

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist asymptotisch stabil.
2. Zu jedem ${}v\in V$ konvergiert die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}0\in V$.
3. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, gegen ${}0$ konvergiert.
4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner als ${}1$.

Beweis

Aus (1) folgt (2). Es sei ${}v\in V$. Wir können mit einer beliebigen Norm auf ${}V$ und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann konvergiert wegen

${}\Vert {\varphi ^{n}(v)}\Vert \leq \Vert {\varphi ^{n}}\Vert _{\rm {max}}\cdot \Vert {v}\Vert \,$

die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$ gegen ${}0$. Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und

${}v=a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\,$

eine Linearkombination ist, so ist

${}\varphi ^{n}{\left(a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\right)}=a_{1}\varphi ^{n}(v_{1})+\cdots +a_{m}\varphi ^{n}(v_{m})\,$

und aus der Konvergenz der beteiligten Folgen ${}\varphi ^{n}(v_{j})$ gegen ${}0$ folgt die Konvergenz dieser Summenfolge gegen ${}0$. Von (2) bzw. (3) nach (4). Wir können ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ annehmen: Im reellen Fall kann man von ${}V=\mathbb {R} ^{d}$ ausgehen und die Abbildung durch eine reelle Matrix ausdrücken und diese als komplexe Matrix auffassen. Das gegebene reelle Erzeugendensystem ist dann auch ein komplexes Erzeugendensysten für den ${}{\mathbb {C} }^{d}$. Es sei ${}\lambda$ ein Eigenwert und ${}v\in V$ ein Eigenvektor zu ${}\lambda$. Da nach Voraussetzung

${}\varphi ^{n}(v)=\lambda ^{n}v\,$

gegen ${}0$ konvergiert, muss ${}\lambda ^{n}$ gegen ${}0$ konvergieren und daher ist

${}\vert {\lambda }\vert <1\,.$

Für den Schluss von (4) auf (1) verwenden wir Fakt, es ist also

${}\varphi ^{n}=\varphi _{\rm {diag}}^{n}+n\varphi _{\rm {diag}}^{n-1}\circ \varphi _{\rm {nil}}+{\binom {n}{2}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-2}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{2}+{\binom {n}{3}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-3}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{3}+\cdots +{\binom {n}{k-1}}\varphi _{\rm {diag}}^{n-k+1}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{k-1}\,,$

wobei ${}k$ die Nilpotenzordnung des nilpotenten Anteils ${}\varphi _{\rm {nil}}$ ist. Die Eigenwerte von ${}\varphi$ sind nach Aufgabe die Eigenwerte des diagonalisierbaren Anteils ${}\varphi _{\rm {diag}}$, sie seien mit ${}z_{j}$ bezeichnet. Die Summanden sind von der Form

$p(n)\varphi _{\rm {diag}}^{n-s}\circ \varphi _{\rm {nil}}^{s}$

zu einem festen ${}s<k$ und einem Polynom ${}p(n)$. Die Diagonaleinträge von ${}p(n)\varphi _{\rm {diag}}^{n-s}$ sind (nach Diagonalisieren) von der Form

$p(n)z_{j}^{n-s}$

und wegen ${}\vert {z_{j}}\vert <1$ konvergiert dies für ${}n\rightarrow \infty$ gegen ${}0$. Daher konvergiert ${}p(n)\varphi _{\rm {diag}}^{n-s}$ gegen die Nullabbildung und das gilt nach Aufgabe auch für das Produkt mit der festen Abbildung ${}\varphi _{\rm {nil}}^{s}$. Daher konvergiert auch die Summe gegen die Nullabbildung.

$\Box$

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Der Spektralradius von ${}\varphi$ ist

${}\rho (\varphi )={\max {\left(\vert {\lambda }\vert ,\lambda {\text{ ist ein komplexer Eigenwert von }}\varphi \right)}}\,.$

Da es im endlichdimensionalen Fall nur endlich viele (komplexe) Eigenwerte gibt, ist der Spektralradius wohldefiniert. Gemäß Fakt ist der Endomorphismus genau dann asymptotisch stabil, wenn der Spektralradius ${}<1$ ist. Wir betonen, dass im Reellen der Spektralradius unter Bezug auf die Komplexifizierung berechnet wird.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Es sei eine Norm auf ${}V$ gegeben und ${}\Vert {-}\Vert _{\rm {max}}$ die entsprechende Norm auf dem Endomorphismenraum.

Dann gilt für den Spektralradius die Abschätzung

${}\rho (\varphi )\leq \Vert {\varphi }\Vert _{\rm {max}}\,.$

Beweis

Es sei ${}\lambda$ ein Eigenwert von ${}\varphi$ mit

${}\vert {\lambda }\vert =\rho (\varphi )\,.$

Es sei ${}v\in V$ ein Eigenvektor zu ${}\lambda$. Dann ist

${}\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert =\Vert {\lambda v}\Vert =\Vert {\varphi (v)}\Vert \leq \Vert {\varphi }\Vert _{\rm {max}}\cdot \Vert {v}\Vert \,$

und Division durch ${}\Vert {v}\Vert$ liefert die Behauptung.

$\Box$

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Dann heißt ${}\varphi$ stabil, wenn die Folge ${}\varphi ^{n}$ in ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ beschränkt ist.

Beispielsweise ergibt sich aus dem folgenden Satz, dass eine Isometrie auf einem euklidischen Raum ${}V$ stabil ist, da für jeden Vektor ${}v\in V$ ja ${}\Vert {\varphi ^{n}(v)}\Vert$ sogar konstant ist.

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}\varphi$ ist stabil.
2. Zu jedem ${}v\in V$ ist die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$, beschränkt.
3. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, beschränkt ist.
4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner oder gleich ${}1$ und die Eigenwerte mit Betrag ${}1$ sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
5. Für eine beschreibende Matrix ${}M$ von ${}\varphi$, aufgefasst über ${}{\mathbb {C} }$, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

   ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$

   mit ${}\vert {\lambda }\vert <1$ oder gleich ${}(\lambda )$ mit ${}\vert {\lambda }\vert =1$.

Beweis

Aus (1) folgt (2). Es sei ${}v\in V$. Wir können mit einer beliebigen Norm auf ${}V$ und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann ist wegen

${}\Vert {\varphi ^{n}(v)}\Vert \leq \Vert {\varphi ^{n}}\Vert _{\rm {max}}\cdot \Vert {v}\Vert \,$

auch ${}\varphi ^{n}(v)$ beschränkt. Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und

${}v=a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\,$

eine Linearkombination ist, so ist

${}\varphi ^{n}{\left(a_{1}v_{1}+\cdots +a_{m}v_{m}\right)}=a_{1}\varphi ^{n}(v_{1})+\cdots +a_{m}\varphi ^{n}(v_{m})\,$

und aus der Beschränktheit der beteiligten Folgen ${}\varphi ^{n}(v_{j})$ folgt die Beschränktheit dieser Summenfolge. Die Äquivalenz von (4) und (5) ist klar, da über ${}{\mathbb {C} }$ die jordansche Normalform existiert und man die Eigenwerte und die Vielfachheiten aus den Jordan-Blöcken ablesen kann. Von (2) nach (5). Wir können ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ annehmen. Es sei

${}J={\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}\,$

ein Jordan-Block der jordanschen Normalform. Bei

${}\vert {\lambda }\vert >1\,$

ergibt sich für einen zugehörigen Eigenvektor ${}v$ wegen

${}\Vert {\varphi ^{n}(v)}\Vert =\vert {\lambda }\vert ^{n}\Vert {v}\Vert \,$

direkt ein Widerspruch zur Beschränktheit. Sei also

${}\vert {\lambda }\vert =1\,$

und sei angenommen, dass der Jordan-Block mindestens die Länge zwei besitzt. Nach Aufgabe ist

${}{\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda ^{n}+n\lambda ^{n-1}\\\lambda ^{n}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,.$

Dabei ist aber die erste Komponente

${}\lambda ^{n}+n\lambda ^{n-1}=\lambda ^{n-1}(\lambda +n)\,$

nicht beschränkt im Widerspruch zur Voraussetzung.

Für den Schluss von (5) auf (1) können wir die einzelnen Jordan-Blöcke getrennt voneinander analysieren, da die Stabilität nach Aufgabe mit einer Zerlegung in direkte Summanden verträglich ist. Für den ersten Typ folgt die Aussage aus Fakt, für den Typ ${}\lambda$ mit ${}\lambda =1$ ist es klar, da die Norm der Potenzen konstant gleich ${}1$ ist.

$\Box$

Für die Konvergenz der Matrixpotenzen gibt es die folgende Charakterisierung.

Satz

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. Die Folge ${}\varphi ^{n}$ konvergiert in ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$.
2. Zu jedem ${}v\in V$ konvergiert die Folge ${}\varphi ^{n}(v)$, ${}n\in \mathbb {N}$.
3. Es gibt ein Erzeugendensystem ${}v_{1},\ldots ,v_{m}\in V$ derart, dass ${}\varphi ^{n}(v_{j})$, ${}j=1,\ldots ,m$, konvergiert.
4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ${}\varphi$ ist kleiner oder gleich ${}1$ und falls der Betrag ${}1$ ist, so ist der Eigenwert selbst ${}1$ und diagonalisierbar.
5. Für eine beschreibende Matrix ${}M$ von ${}\varphi$, aufgefasst über ${}{\mathbb {C} }$, sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

   ${\begin{pmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &0&\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{pmatrix}}$

   mit ${}\vert {\lambda }\vert <1$ oder gleich ${}(1)$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$