Potenzen von Endomorphismen/C/Konvergenz/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

ein Endomorphismus. Dann heißt asymptotisch stabil, wenn die Folge in gegen die Nullabbildung konvergiert.

Im Folgenden werden in der reellen Situation auch die komplexen Eigenwerte eine Rolle spielen. Diese sind die komplexen Nullstellen des charakteristischen Polynoms bzw. die Eigenwerte der Matrix, wenn man sie über auffasst. Sie sind nicht Eigenwerte der reellen Matrix im Sinne der Definition. Auch die jordansche Normalform, die ja im Allgemeinen nur komplex existiert, wird ebenfalls in der reellen Situation verwendet.



Satz  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

  1. ist asymptotisch stabil.
  2. Zu jedem konvergiert die Folge , , gegen .
  3. Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , gegen konvergiert.
  4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner als .

Beweis  

Aus (1) folgt (2). Sei . Wir können mit einer beliebigen Norm auf und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann konvergiert wegen

die Folge gegen . Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und

eine Linearkombination ist, so ist

und aus der Konvergenz der beteiligten Folgen gegen folgt die Konvergenz dieser Summenfolge gegen . Von (2) bzw. (3) nach (4). Wir können annehmen: Im reellen Fall kann man von ausgehen und die Abbildung durch eine reelle Matrix ausdrücken und diese als komplexe Matrix auffassen. Das gegebene reelle Erzeugendensystem ist dann auch ein komplexes Erzeugendensysten für den . Es sei ein Eigenwert und ein Eigenvektor zu . Da nach Voraussetzung

gegen konvergiert, muss gegen konvergieren und daher ist

Für den Schluss von (4) auf (1) verwenden wir Fakt, es ist also

wobei die Nilpotenzordnung des nilpotenten Anteils ist. Die Eigenwerte von sind nach Aufgabe die Eigenwerte des diagonalisierbaren Anteils , sie seien mit bezeichnet. Die Summanden sind von der Form

zu einem festen und einem Polynom . Die Diagonaleinträge von sind (nach Diagonalisieren) von der Form

und wegen konvergiert dies für gegen . Daher konvergiert gegen die Nullabbildung und das gilt nach Aufgabe auch für das Produkt mit der festen Abbildung . Daher konvergiert auch die Summe gegen die Nullabbildung.



Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

ein Endomorphismus. Der Spektralradius von ist

Da es im endlichdimensionalen Fall nur endlich viele (komplexe) Eigenwerte gibt, ist der Spektralradius wohldefiniert. Gemäß Fakt ist der Endomorphismus genau dann asymptotisch stabil, wenn der Spektralradius ist. Wir betonen, dass im Reellen der Spektralradius unter Bezug auf die Komplexifizierung berechnet wird.



Lemma  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

ein Endomorphismus. Es sei eine Norm auf gegeben und die entsprechende Norm auf dem Endomorphismenraum.

Dann gilt für den Spektralradius die Abschätzung

Beweis  

Es sei ein Eigenwert von mit

Es sei ein Eigenvektor zu . Dann ist

und Division durch liefert die Behauptung.



Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

ein Endomorphismus. Dann heißt stabil, wenn die Folge in beschränkt ist.

Beispielsweise ergibt sich aus dem folgenden Satz, dass eine Isometrie auf einem euklidischen Raum stabil ist, da für jeden Vektor ja sogar konstant ist.



Satz  

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

  1. ist stabil.
  2. Zu jedem ist die Folge , , beschränkt.
  3. Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , beschränkt ist.
  4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner oder gleich und die Eigenwerte mit Betrag sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
  5. Für eine beschreibende Matrix von , aufgefasst über , sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

    mit oder gleich mit .

Beweis  

Aus (1) folgt (2). Sei . Wir können mit einer beliebigen Norm auf und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann ist wegen

auch beschränkt. Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und

eine Linearkombination ist, so ist

und aus der Beschränktheit der beteiligten Folgen folgt die Beschränktheit dieser Summenfolge. Die Äquivalenz von (4) und (5) ist klar, da über die jordansche Normalform existiert und man die Eigenwerte und die Vielfachheiten aus den Jordan-Blöcken ablesen kann. Von (2) nach (5). Wir können annehmen. Es sei

ein Jordan-Block der jordanschen Normalform. Bei

ergibt sich für einen zugehörigen Eigenvektor wegen

direkt ein Widerspruch zur Beschränktheit. Sei also

und sei angenommen, dass der Jordan-Block mindestens die Länge zwei besitzt. Nach Aufgabe ist

Dabei ist aber die erste Komponente

nicht beschränkt im Widerspruch zur Voraussetzung.

Für den Schluss von (5) auf (1) können wir die einzelnen Jordan-Blöcke getrennt voneinander analysieren, da die Stabilität nach Aufgabe mit einer Zerlegung in direkte Summanden verträglich ist. Für den ersten Typ folgt die Aussage aus Fakt, für den Typ mit ist es klar, da die Norm der Potenzen konstant gleich ist.


Für die Konvergenz der Matrixpotenzen gibt es die folgende Charakterisierung.


Satz

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

  1. Die Folge konvergiert in .
  2. Zu jedem konvergiert die Folge , .
  3. Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , konvergiert.
  4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner oder gleich und falls der Betrag ist, so ist der Eigenwert selbst und diagonalisierbar.
  5. Für eine beschreibende Matrix von , aufgefasst über , sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

    mit oder gleich .

Beweis

Siehe Aufgabe.