Potenzsingularitäten/Kähler-Differentiale/Ganzheitsfragen/Fakt/Beweis

Beweis

Man kann die Variable ${}x$ eliminieren. Aus

${}-x^{\alpha }=y^{\beta }+z^{\gamma }\,$

und

${}-x^{\alpha -1}A=y^{\beta -1}B+z^{\gamma -1}C\,$

erhält man

${}{\begin{aligned}-A^{\alpha }\left(y^{\beta }+z^{\gamma }\right)^{\alpha -1}&=(-1)^{\alpha }A^{\alpha }(-1)^{\alpha -1}\left(y^{\beta }+z^{\gamma }\right)^{\alpha -1}\\&=(-1)^{\alpha }x^{\alpha (\alpha -1)}A^{\alpha }\\&=\left(-x^{\alpha -1}A\right)^{\alpha }\\&=\left(y^{\beta -1}B+z^{\gamma -1}C\right)^{\alpha },\end{aligned}}$

also

${}A^{\alpha }\left(y^{\beta }+z^{\gamma }\right)^{\alpha -1}+\left(y^{\beta -1}B+z^{\gamma -1}C\right)^{\alpha }=0\,.$

Beispielsweise gilt dann

${}y^{\beta (\alpha -1)}\left(A^{\alpha }+y^{\beta -\alpha }B^{\alpha }\right)=z^{\gamma -1}H\,,$

und man kann ${}A^{\alpha }+y^{\beta -\alpha }B^{\alpha }$ als Zähler erhalten. Wir schreiben die letzte Gleichung als

${}{\frac {y^{\beta (\alpha -1)}}{z^{\gamma -1}}}\left(A^{\alpha }+y^{\beta -\alpha }B^{\alpha }\right)=H\,$

bzw. als

${}{\frac {z^{\gamma -1}}{y^{\beta (\alpha -1)}}}H=\left(A^{\alpha }+y^{\beta -\alpha }B^{\alpha }\right)\,.$

Je nachdem, ob ${}\gamma -1$ oder ${}\beta (\alpha -1)$ größer ist, erfüllt ein gewisses Vielfaches von ${}{\frac {y}{z}}$ eine Ganzheitsgleichung.

Wir dividieren

${}A^{\alpha }\left(y^{\beta }+z^{\gamma }\right)^{\alpha -1}+\left(y^{\beta -1}B+z^{\gamma -1}C\right)^{\alpha }=0\,$

durch ${}z^{\beta (\alpha -1)}$ und erhalten

${}{\begin{aligned}0&={\frac {1}{z^{\beta (\alpha -1)}}}\left(A^{\alpha }\left(y^{\beta }+z^{\gamma }\right)^{\alpha -1}+\left(y^{\beta -1}B+z^{\gamma -1}C\right)^{\alpha }\right)\\&=A^{\alpha }\left(\left({\frac {y}{z}}\right)^{\beta }+{\frac {z^{\gamma }}{z^{\beta }}}\right)^{\alpha -1}+{\frac {1}{z^{\alpha (\beta -1)+\alpha -\beta }}}\left(y^{\beta -1}B+z^{\gamma -1}C\right)^{\alpha }\\&=A^{\alpha }\left(\left({\frac {y}{z}}\right)^{\beta }+{\frac {z^{\gamma }}{z^{\beta }}}\right)^{\alpha -1}+z^{\beta -\alpha }\left({\frac {y^{\beta -1}}{z^{\beta -1}}}B+{\frac {z^{\gamma -1}}{z^{\beta -1}}}C\right)^{\alpha }\\&=\left({\frac {y}{z}}\right)^{\beta (\alpha -1)}\left(A^{\alpha }+z^{\beta -\alpha }B^{\alpha }\right)+\ldots .\end{aligned}}$

Wir dividieren durch ${}z^{\gamma (\alpha -1)}$ und erhalten

${}{\begin{aligned}0&={\frac {1}{z^{\gamma (\alpha -1)}}}\left(A^{\alpha }\left(y^{\beta }+z^{\gamma }\right)^{\alpha -1}+\left(y^{\beta -1}B+z^{\gamma -1}C\right)^{\alpha }\right)\\&=A^{\alpha }\left({\frac {y^{\beta }}{z^{\gamma }}}+{\frac {z^{\gamma }}{z^{\gamma }}}\right)^{\alpha -1}+{\frac {1}{z^{\alpha (\gamma -1)+\alpha -\gamma }}}\left(y^{\beta -1}B+z^{\gamma -1}C\right)^{\alpha }\\&=A^{\alpha }\left({\frac {y^{\beta }}{z^{\gamma }}}+1\right)^{\alpha -1}+z^{\gamma -\alpha }\left({\frac {y^{\beta -1}}{z^{\gamma -1}}}B+{\frac {z^{\gamma -1}}{z^{\gamma -1}}}C\right)^{\alpha }\\&=A^{\alpha }\left({\frac {y^{\beta }}{z^{\gamma }}}+1\right)^{\alpha -1}+z^{\gamma -\alpha }\left({\frac {y^{\beta -1}}{z^{\gamma -1}}}B+C\right)^{\alpha }.\end{aligned}}$

Wir verarbeiten den ${}j$-ten Term der linken Seite mit dem ${}(j+1)$-ten Term der rechten Seite,

${}j=0,\ldots ,\alpha -1\,,$

und erhalten

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,A^{\alpha }{\binom {\alpha -1}{j}}\left({\frac {y^{\beta }}{z^{\gamma }}}\right)^{j}+z^{\gamma -\alpha }{\binom {\alpha }{j+1}}\left({\frac {y^{\beta -1}}{z^{\gamma -1}}}\right)^{j+1}B^{j+1}C^{\alpha -j-1}\\&={\binom {\alpha -1}{j}}A^{\alpha }\left({\frac {y^{\beta }}{z^{\gamma }}}\right)^{j}+{\binom {\alpha }{j+1}}z^{\gamma -\alpha }{\frac {y^{(\beta -1)(j+1)}}{z^{(\gamma -1)(j+1)}}}B^{j+1}C^{\alpha -j-1}\\&={\binom {\alpha -1}{j}}A^{\alpha }\left({\frac {y^{\beta }}{z^{\gamma }}}\right)^{j}+{\binom {\alpha }{j+1}}z^{\gamma -\alpha }{\frac {y^{\beta -j-1}}{z^{\gamma -j-1}}}\left({\frac {y^{\beta }}{z^{\gamma }}}\right)^{j}B^{j+1}C^{\alpha -j-1}\\&=\left({\frac {y^{\beta }}{z^{\gamma }}}\right)^{j}\left({\binom {\alpha -1}{j}}A^{\alpha }+{\binom {\alpha }{j+1}}z^{\gamma -\alpha }{\frac {y^{\beta -j-1}}{z^{\gamma -j-1}}}B^{j+1}C^{\alpha -j-1}\right).\,\end{aligned}}$

Für  ${}j=\alpha -1$  ist dies

$\left({\frac {y^{\beta }}{z^{\gamma }}}\right)^{\alpha -1}\left(A^{\alpha }+z^{\gamma -\alpha }{\frac {y^{\beta -\alpha }}{z^{\gamma -\alpha }}}B^{\alpha }\right).$

Für kleinere ${}j$ ist

${}z^{\gamma -\alpha }{\frac {y^{\beta -j-1}}{z^{\gamma -j-1}}}={\frac {y^{\beta -j-1}}{z^{\alpha -j-1}}}\,.$

Der Exponent im Zähler ist zumindest so groß wie der Exponent im Nenner. Da ${}y/z$ eine Ganzheitsgleichung über der Lokalisierung erfüllt, gilt dies auch für diese Terme und insgesamt erhalten wir eine (iterative) Ganzheitsgleichung.

Wir betrachten nun Brüche der Form ${}{\frac {X^{i}}{Y^{j}Z^{k}}}$ vom Grad ${}\geq 0$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\left({\frac {X^{i}}{Y^{j}Z^{k}}}\right)^{\alpha }&={\frac {X^{\alpha i}}{Y^{\alpha j}Z^{\alpha k}}}\\&={\frac {\pm \left(Y^{\beta }+Z^{\gamma }\right)^{i}}{Y^{\alpha j}Z^{\alpha k}}}\\&=\sum _{r=0}^{i}\pm {\binom {i}{r}}\left({\frac {Y^{r\beta }Z^{(i-r)\gamma }}{Y^{\alpha j}Z^{\alpha k}}}\right).\end{aligned}}$

Nach Kürzen sind die Summanden von der Form ${}Y^{m}/Z^{n}$ (oder umgekehrt) und nach wir vor von negativem Grad, diese erfüllen also eine Ganzheitsgleichung.

Bei Brüchen der Form ${}{\frac {X^{i}Y^{j}}{Z^{k}}}$ vom Grad ${}\geq 0$ betrachten wir wieder die ${}\alpha$-Potenz und erhalten

${}{\frac {X^{\alpha i}Y^{\alpha j}}{Z^{\alpha k}}}={\frac {\pm \left(Y^{\beta }+Z^{\gamma }\right)^{i}Y^{\alpha j}}{Z^{\alpha k}}}\,$

und nach Ausmultiplizieren liegen wieder Summanden vor, die ganz sind.

Es sei nun  ${}\gamma -1\geq \alpha (\beta -1)\geq \beta (\alpha -1)$.  Wir gehen von

${}y^{\beta (\alpha -1)}\left(A^{\alpha }+y^{\beta -\alpha }B^{\alpha }\right)=z^{\gamma -1}H\,$

aus und schreiben dies als

${}{\frac {y^{\beta (\alpha -1)}}{z^{\beta (\alpha -1)}}}\left(A^{\alpha }+y^{\beta -\alpha }B^{\alpha }\right)=z^{\gamma -1-\beta (\alpha -1)}H\,.$

Somit erfüllt

${\frac {y^{\beta (\alpha -1)}}{z^{\beta (\alpha -1)}}}\left(A^{\alpha }+y^{\beta -\alpha }B^{\alpha }\right)$

eine Ganzheitsgleichung über ${}T$. Da der Faktor ${}A^{\alpha }+y^{\beta -\alpha }B^{\alpha }$ nicht zu ${}(x,y,z)T$ gehört, ist er in die Lokalisierung eine Einheit. Somit ist ${}y/z$ ganz über der Lokalisierung.

Zur bewiesenen Aussage