Potenzsingularitäten/Quasihomogen/Bemerkung

Die durch

${}x^{\alpha }+y^{\beta }+z^{\gamma }=0\,$

gegebenen Singularitäten kann man graduieren, indem man ${}x$ den Grad ${}\beta \gamma$, ${}Y$ den Grad ${}\alpha \gamma$ und ${}Z$ den Grad ${}\alpha \beta$ gibt. Wenn die Exponenten einen gemeinsamen Teiler haben, so kann man auch durch diesen dividieren. Der Grad der Hyperfläche ist dann ${}\alpha \beta \gamma$. Die entsprechende Operation von ${}K$ ist durch

$K\times {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}},\,(t;(x,y,z))\longmapsto (t^{\beta \gamma }x,t^{\alpha \gamma }y,t^{\alpha \beta }z),$

gegeben. Ein Monom ${}X^{i}Y^{j}Z^{k}$ wird unter der Operation auf ${}t^{i\beta \gamma +j\alpha \gamma +k\alpha \beta }X^{i}Y^{j}Z^{k}$ geschickt. Wenn ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ teilerfremd sind, so sind auch ${}\beta \gamma ,\alpha \gamma ,\alpha \beta$ teilerfremd. Es seien  ${}i,j>0$  und  ${}k<0$  derart, dass

${}i\beta \gamma +j\alpha \gamma +k\alpha \beta =1\,.$

Wir betrachten die Abbildung

$V\setminus \{(0,0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{i}y^{j},\,z^{-k}\right).$

Dies ist mit der Operation der Skalare verträglich, da ${}{\left(t^{\beta \gamma }x,t^{\alpha \gamma }y,t^{\alpha \beta }z\right)}$ auf ${}{\left(t^{i\beta \gamma +j\alpha \gamma }x^{i}y^{i},t^{-k\alpha \beta }z^{-k}\right)}$ abgebildet wird, was eben mit ${}\left(x^{i}y^{j},\,z^{-k}\right)$ über den skalaren Faktor

${}t^{i\beta \gamma +j\alpha \gamma }=t^{-k\alpha \beta }\,$

übereinstimmt. Das zugehörige Proj ist also im teilerfremden Fall eine projektive Gerade.