Potenzsingularitäten/Zweidimensional/Kohomologie/Textabschnitt

Wir betrachten Gleichungen der Form

${}x^{\alpha }+y^{\beta }+z^{\gamma }=0\,,$

zumeist werden wir  ${}2\leq \alpha \leq \beta \leq \gamma$  voraussetzen.

Bemerkung  

Die durch

${}x^{\alpha }+y^{\beta }+z^{\gamma }=0\,$

gegebenen Singularitäten kann man graduieren, indem man ${}x$ den Grad ${}\beta \gamma$, ${}Y$ den Grad ${}\alpha \gamma$ und ${}Z$ den Grad ${}\alpha \beta$ gibt. Wenn die Exponenten einen gemeinsamen Teiler haben, so kann man auch durch diesen dividieren. Der Grad der Hyperfläche ist dann ${}\alpha \beta \gamma$. Die entsprechende Operation von ${}K$ ist durch

$K\times {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{3}},\,(t;(x,y,z))\longmapsto (t^{\beta \gamma }x,t^{\alpha \gamma }y,t^{\alpha \beta }z),$

gegeben. Ein Monom ${}X^{i}Y^{j}Z^{k}$ wird unter der Operation auf ${}t^{i\beta \gamma +j\alpha \gamma +k\alpha \beta }X^{i}Y^{j}Z^{k}$ geschickt. Wenn ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ paarweise teilerfremd sind, so sind ${}\beta \gamma ,\alpha \gamma ,\alpha \beta$ insgesamt teilerfremd. Es seien  ${}i,j>0$  und  ${}k<0$  derart, dass

${}i\beta \gamma +j\alpha \gamma +k\alpha \beta =1\,.$

Wir betrachten die Abbildung

$V\setminus \{(0,0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(x,y,z)\longmapsto \left(x^{i}y^{j},\,z^{-k}\right).$

Dies ist mit der Operation der Skalare verträglich, da ${}{\left(t^{\beta \gamma }x,t^{\alpha \gamma }y,t^{\alpha \beta }z\right)}$ auf ${}{\left(t^{i\beta \gamma +j\alpha \gamma }x^{i}y^{i},t^{-k\alpha \beta }z^{-k}\right)}$ abgebildet wird, was eben mit ${}\left(x^{i}y^{j},\,z^{-k}\right)$ über den skalaren Faktor

${}t^{i\beta \gamma +j\alpha \gamma }=t^{-k\alpha \beta }\,$

übereinstimmt. Das zugehörige Proj ist also im teilerfremden Fall eine projektive Gerade.

Lemma

Es sei

${}R=K[X,Y,Z]/{\left(X^{\alpha }+Y^{\beta }+Z^{\gamma }\right)}\,$

mit der natürlichen Graduierung.

Dann besitzt das Sockelelement von

${}H_{\mathfrak {m}}^{2}(R)\cong H^{1}(U,{\mathcal {O}}_{X})\,$

den Grad ${}\alpha \beta \gamma -\alpha \beta -\alpha \gamma -\beta \gamma$. Dies ist negativ genau dann, wenn

${}{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}>1\,$

ist.

Beweis

Das Sockelelement in der Kohomologie ist ${}{\frac {X^{\alpha -1}}{YZ}}$ (bzw. ${\frac {Y^{\beta -1}}{XZ}}$ bzw. ${\frac {Z^{\gamma -1}}{XY}}$). Der Grad davon ist

${}(\alpha -1)\beta \gamma -\alpha \gamma -\alpha \beta =\alpha \beta \gamma -\beta \gamma -\alpha \gamma -\alpha \beta \,.$

$\Box$

Zu den möglichen numerischen Lösungen, wo dieser Ausdruck positiv ist, vergleiche Fakt.

Es besteht zwischen der Sockelkohomologie und der zusätzliche Zariski-Differentialform

${}D={\frac {-yA+xB}{z^{\gamma -1}}}={\frac {zA-xC}{y^{\beta -1}}}={\frac {-zB+yC}{x^{\alpha -1}}}\,$

gemäß Fakt eine strukturelle Analogie. Die Form hat den Grad  ${}\alpha \beta +\gamma \beta -(\gamma -1)\alpha \beta =\alpha \beta +\gamma \beta +\alpha \beta -\gamma \alpha \beta$. 

Bemerkung  

${}\operatorname {Syz} {\left(\alpha X^{\alpha -1},\beta Y^{\beta -1},\gamma Z^{\gamma -1}\right)}$ sind die Derivationen. Euler-Derivation

${\frac {1}{\alpha }}x\partial _{x}+{\frac {1}{\beta }}y\partial _{y}+{\frac {1}{\gamma }}z\partial _{z}$

(vom Grad ${}0$) bzw., wie in Bemerkung,

$\beta \gamma x\partial _{x}+\alpha \gamma y\partial _{y}+\alpha \beta z\partial _{z}.$

Die Koszul-Syzygien entsprechen den Koszul-Derivationen

$\beta y^{\beta -1}\partial _{x}-\alpha x^{\alpha -1}\partial _{y}$

vom Grad ${}\alpha \beta \gamma -\alpha \gamma -\beta \gamma$.

Zwischen den Koszul-Derivationen besteht die lineare Relation

${}\gamma z^{\gamma -1}{\left(\beta y^{\beta -1}\partial _{x}-\alpha x^{\alpha -1}\partial _{y}\right)}+\beta y^{\beta -1}{\left(-\gamma z^{\gamma -1}\partial _{x}+\alpha x^{\alpha -1}\partial _{z}\right)}+\alpha x^{\alpha -1}{\left(\gamma z^{\gamma -1}\partial _{y}-\beta y^{\beta -1}\partial _{z}\right)}=0\,.$

Ferner hat man

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\gamma z^{\gamma -1}{\left({\frac {1}{\alpha }}x\partial _{x}+{\frac {1}{\beta }}y\partial _{y}+{\frac {1}{\gamma }}z\partial _{z}\right)}-{\frac {y}{\beta }}{\left(\gamma z^{\gamma -1}\partial _{y}-\beta y^{\beta -1}\partial _{z}\right)}-{\frac {x}{\alpha }}{\left(\gamma z^{\gamma -1}\partial _{x}-\alpha x^{\alpha -1}\partial _{z}\right)}\\&={\left(z^{\gamma }+y^{\beta }+x^{\alpha }\right)}\partial _{z}\\&=0.\,\end{aligned}}$

Für die Syzygien gibt es die graduierte Darstellung

$0\longrightarrow \operatorname {Syz} {\left(\alpha X^{\alpha -1},\beta Y^{\beta -1},\gamma Z^{\gamma -1}\right)}\longrightarrow R(-(\alpha -1)\beta \gamma )\oplus (-(\beta -1)\alpha \gamma )\oplus (-(\gamma -1)\alpha \beta )\longrightarrow R\longrightarrow .$

Die Twists sind ${}\beta \gamma -\alpha \beta \gamma$ etc., die Eulersyzygie findet sich im Totalgrad ${}\alpha \beta \gamma$, die Koszulsyzygien finden sich im Grad

${}(\beta -1)\alpha \gamma +(\alpha -1)\beta \gamma =2\alpha \beta \gamma -\alpha \gamma -\beta \gamma \,.$

Insofern ist

${}Der\cong \operatorname {Syz} {\left(\alpha X^{\alpha -1},\beta Y^{\beta -1},\gamma Z^{\gamma -1}\right)}(\alpha \beta \gamma )\,.$

Der Grad von diesem Bündel (über ${}U$) ist (bis auf die Multiplizität der Singularität)

${}2\alpha \beta \gamma -(\alpha -1)\beta \gamma )-(-(\beta -1)\alpha \gamma )-(-(\gamma -1)\alpha \beta )=-\alpha \beta \gamma +\beta \gamma +\alpha \gamma +\alpha \beta \,.$

Von daher hat man eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,Der\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{U}(-\alpha \beta \gamma +\beta \gamma +\alpha \gamma +\alpha \beta )\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Für eine homogene Derivation ${}h_{1}\partial _{1}+h_{2}\partial _{2}+h_{3}\partial _{3}$ ist

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,Euler\wedge {\left(h_{1}\partial _{1}+h_{2}\partial _{2}+h_{3}\partial _{3}\right)}\\&={\left(\beta \gamma x\partial _{1}+\alpha \gamma y\partial _{2}+\alpha \beta z\partial _{3}\right)}\wedge {\left(h_{1}\partial _{1}+h_{2}\partial _{2}+h_{3}\partial _{3}\right)}\\&={\left(\beta \gamma xh_{2}-\alpha \gamma yh_{1}\right)}\partial _{1}\wedge \partial _{2}+{\left(\beta \gamma xh_{3}-\alpha \beta zh_{1}\right)}\partial _{1}\wedge \partial _{3}+{\left(\alpha \gamma yh_{3}-\alpha \beta zh_{2}\right)}\partial _{2}\wedge \partial _{3}.\,\end{aligned}}$

Kann man so die Abbildung rechts beschreiben? Korrekturterm für Grad?

Die Erweiterung ist so, dass bei dem Twist ${}\alpha \beta \gamma -\beta \gamma -\alpha \gamma -\alpha \beta$ rechts die Strukturgarbe steht. Die ${}1$ geht auf das Sockelelement der ersten Kohomologie. Wenn man den Twist um ${}\alpha \beta$ erhöht, so gibt es rechts neue Schnitte, die von Derivationen herkommen (nämlich von der Koszul-Derivation für ${}x$ und ${}y$).

Die oben erwähne Form ${}D$, aufgefasst als homogene Linearform auf ${}Der$ mit Werten in ${}R(-\alpha \beta \gamma +\beta \gamma +\alpha \gamma +\alpha \beta )$, bildet die Eulerderivation auf

${}{\left(\beta \gamma x\partial _{x}+\alpha \gamma y\partial _{y}+\alpha \beta z\partial _{z}\right)}{\frac {-yA+xB}{z^{\gamma -1}}}={\frac {-xy\alpha \beta \gamma +yx\alpha \beta \gamma }{z^{\gamma -1}}}=0\,$

und eine Koszulderivation auf

${}{\left(\beta y^{\beta -1}\partial _{x}-\alpha x^{\alpha -1}\partial _{y}\right)}{\frac {-yA+xB}{z^{\gamma -1}}}={\frac {-\alpha \beta y^{\beta }-\alpha \beta x^{\alpha }}{z^{\gamma -1}}}=\alpha \beta z\,$

ab. Das Bild ist also das maximale Ideal.

Lemma

Es sei

${}R=K[X,Y,Z]/{\left(X^{\alpha }+Y^{\beta }+Z^{\gamma }\right)}\,$

mit der natürlichen Graduierung, mit  ${}\alpha ,\beta ,\gamma \neq 0$  in ${}K$.

Dann lässt sich der Torsor über  ${}U=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\setminus \{{\mathfrak {m}}\}$  zum Sockelelement aus

${}H_{\mathfrak {m}}^{2}(R)\cong H^{1}(U,{\mathcal {O}}_{X})\,$

als abgeschlossene Untervarietät des Tangentialbündels ${}T_{U}$ realisieren.

Beweis

Wir schreiben das Sockelelement aus Fakt als

${}{\frac {X^{\alpha -1}}{YZ}}={\frac {X^{\alpha -1}Y^{\beta -2}Z^{\gamma -2}}{Y^{\beta -1}Z^{\gamma -1}}}\,.$

Der zugehörige Torsor wird (über ganz ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$) durch das Spektrum der erzwingenden Algebra

${}B=R[S,T]/{\left(Y^{\beta -1}S+Z^{\gamma -1}T+Y^{\beta -2}Z^{\gamma -2}X^{\alpha -1}\right)}\,$

realisiert. Das Spektrum von

${}A=R[dX,dY,dZ]/{\left(\alpha X^{\alpha -1}dX+\beta Y^{\beta -1}dY+\gamma Z^{\gamma -1}dZ\right)}\,$

realisiert über ${}U$ das Tangentialbündel. Durch

$dY\longmapsto {\frac {S}{\beta }},\,dZ\longmapsto {\frac {T}{\gamma }},dX\longmapsto {\frac {Y^{\beta -2}Z^{\gamma -2}}{\alpha }}$

erhält man eine Surjektion von ${}A$ nach ${}B$ und damit die abschlossene Einbettung.

$\Box$

Unter der Bedingung

${}{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\beta }}+{\frac {1}{\gamma }}\leq 1\,$

ist der Torsor nicht affin (für fast alle Primzahlen, da es zum straffen Abschluss gehört)

und damit ist in Charakteristik ${}0$ der globale Schnittring des Torsors ${}Z$ nicht endlich erzeugt. Es liegt das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}A&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (T_{U},{\mathcal {O}}_{T_{U}})&\\\downarrow &&\downarrow &\\B&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma (Z_{U},{\mathcal {O}}_{Z_{U}})&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, wobei die Abbildung links surjektiv ist.

Wenn ${}TU$ eine faserflache Realisierung besitzt, so bedeutet dies, dass es in der Ausnahmefaser eine Relation zwischen den Differentialformen ${}\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}$ geben muss. Sagen wir

$P(\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})+xA+yB+zC,$

wobei die hinteren Koeffizienten zum Realisierungring gehören. In ${}P$ kommen nur Körperelemente vor. ${}P$ irreduzibel? Wenn man dann modulo ${}\omega _{1}-h(x,y,z)$ geht, so bleibt eine Gleichung ${}Q(\omega _{2},\omega _{3})$ übrig, die Vielfachen von ${}x,y,z$ kann man nach rechts schieben.