Prägarben/Gruppen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt Prägarbe von Gruppen, wenn zu jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ eine Gruppe und zu jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Definition

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}X$ heißt Prägarbe von kommutativen Ringen, wenn zu jeder offenen Menge ${}U\subseteq X$ die Menge ${}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}$ ein kommutativer Ring und zu jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die Restriktionsabbildung

$\rho _{V,U}\colon {\mathcal {F}}{\left(V\right)}\longrightarrow {\mathcal {F}}{\left(U\right)}$

ein Ringhomomorphismus ist.

Bemerkung  

Eine Prägarbe ${}{\mathcal {F}}$ auf einem topologischen Raum ${}(X,{\mathcal {T}})$ kann man als einen kontravarianten Funktor

${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {T}}\longrightarrow \operatorname {MEN}$

auffassen, wobei ${}{\mathcal {T}}$ im Sinne von Beispiel als Kategorie aufgefasst wird. Eine Prägarbe von kommutativen Gruppen ist entsprechend ein kontravarianter Funktor in die Kategorie der kommutativen Gruppen, eine Prägarbe von kommutativen Ringen ist ein kontravarianter Funktor in die Kategorie der kommutativen Ringe, u.s.w.