Prägarben/Homomorphismen/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es seien und Prägarben auf einem topologischen Raum . Ein Morphismus von Prägarben
ist eine Familie von Abbildungen
für jede offene Menge derart, dass zu jeder offenen Inklusion das Diagramm
kommutiert.
Definition
Ein Morphismus von Prägarben auf heißt Isomorphismus, wenn für jede offene Teilmenge eine Bijektion vorliegt.
Lemma
Es sei ein topologischer Raum und seien Prägarben auf .
Dann gelten folgende Aussagen.
- Die Identität
ist ein Morphismus von Prägarben.
- Wenn und Morphismen von Prägarben sind, so ist auch die Verknüpfung ein Morphismus von Prägarben.
- Zu einer Unterprägarbe ist die natürliche Inklusion ein Morphismus von Prägraben.
Beweis
Lemma
auf einem topologischen Raum
definiert für jeden Punkt eine Abbildung
zwischen den Halmen, die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.
Das heißt, dass zu die Diagramme
kommutativ sind.
Beweis
Es sei . Das bedeutet, dass es eine offene Umgebung , , und ein mit gibt. Wir setzen
an und müssen zeigen, dass dies wohldefiniert, also unabhängig vom gewählten Repräsentanten (und ) ist. Sei ein weiterer Repräsentant. Wegen gibt es eine offene Umgebung
mit . Somit ist
und somit ist erst recht