Prägarben/Homomorphismen/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es seien und Prägarben auf einem topologischen Raum . Ein Morphismus von Prägarben

ist eine Familie von Abbildungen

für jede offene Menge derart, dass zu jeder offenen Inklusion das Diagramm

kommutiert.


Definition  

Ein Morphismus von Prägarben auf heißt Isomorphismus, wenn für jede offene Teilmenge eine Bijektion vorliegt.



Lemma

Es sei ein topologischer Raum und seien Prägarben auf .

Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Die Identität

    ist ein Morphismus von Prägarben.

  2. Wenn und Morphismen von Prägarben sind, so ist auch die Verknüpfung ein Morphismus von Prägarben.
  3. Zu einer Unterprägarbe ist die natürliche Inklusion ein Morphismus von Prägraben.

Beweis

Siehe Aufgabe.



Lemma  

Ein Morphismus von Prägarben

auf einem topologischen Raum

definiert für jeden Punkt eine Abbildung

zwischen den Halmen, die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind.

Das heißt, dass zu die Diagramme

kommutativ sind.

Beweis  

Es sei . Das bedeutet, dass es eine offene Umgebung , , und ein mit gibt. Wir setzen

an und müssen zeigen, dass dies wohldefiniert, also unabhängig vom gewählten Repräsentanten (und ) ist. Sei ein weiterer Repräsentant. Wegen gibt es eine offene Umgebung

mit . Somit ist

und somit ist erst recht