Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung auf Potenzmenge/Äußeres Maß/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei . Das Mengensystem ist natürlich eine Überpflasterung von , so dass in der Menge vorkommt, über die das Infimum genommen wird. Für jede Überpflasterung , , von gilt und somit

so dass gilt.
Für beliebige Teilmengen gilt trivialerweise , da eine Überpflasterung von insbesondere eine Überpflasterung von ist.
Sei nun , , eine abzählbare Familie von Teilmengen von . Wir müssen nachweisen. Wenn der rechte Ausdruck gleich ist, so ist nichts zu zeigen. Wir können also voraussetzen, dass die rechte Familie summierbar ist. Die Summanden dieser Familie sind jeweils das Infimum über Summen, die jeweils zu Überpflasterungen gehören.  Nehmen wir an, dass die linke Seite größer als die rechte Seite sei, wobei die Differenz größer als sei. Sei , , so gewählt, dass ist; eine solche Familie gibt es aufgrund der Abzählbarkeit von , siehe Aufgabe. Zu jedem gibt es eine Überpflasterung mit einer abzählbaren Indexmenge , mit und mit

Die Menge ist als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar. Wir betrachten nun die durch , , (mit ) gegebene Überpflasterung von . Damit gelten unter Verwendung des großen Umordnungssatzes die Abschätzungen

  

ein Widerspruch.