Primideal/Idealprodukt/Charakterisierung/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei  ${}{\mathfrak {p}}\subset R$  ein Ideal in ${}R$. Zeige, dass ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann ein Primideal ist, wenn für alle Ideale ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}$ aus

${}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}\,$

folgt, dass  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$  oder  ${}{\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}$  gilt.

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