Primzahlfunktion/Primzahlsatz/Hinführung/Textabschnitt

Es gehört zu den schwierigsten Fragen der Zahlentheorie und der Mathematik überhaupt, die Verteilung der Primzahlen zu verstehen. Viele offene Fragen und Vermutungen beziehen sich auf Teilaspekte dieses Problems.

Einfachere Fragestellungen, die bereits die Schwierigkeit im Allgemeinen erahnen lassen, sind etwa: gibt es mehr Primzahlen unterhalb von $n$ als zwischen $n$ und $n^2$? Gibt es stets eine Primzahl zwischen $n$ und $2n$? Gibt es stets eine Primzahl zwischen $n^2$ und $(n+1{)}^2$?

Es ist hilfreich, die folgende Funktion einzuführen, die Primzahlfunktion genannt wird.

Definition

Die für  $x\in ℝ$  definierte Funktion

$x⟼\pi (x):=\mathrm{\#}\left(\{p\le x\mid p\text{ Primzahl}\}\right)$

heißt Primzahlfunktion.

Charles-Jean de La Vallée Poussin (1866 Löwen - 1962 Brüssel)

Jacques Salomon Hadamard (1865 Versailles - 1963 Paris)

Bemerkung  

Die Primzahlfunktion zählt also, wie viele Primzahlen es unterhalb einer gewissen Schranke gibt. Sie nimmt offenbar nur natürliche Zahlen als Werte an und sie ist eine monoton wachsende Treppenfunktion. Sie hat genau an den Primzahlen eine Sprungstelle. Die Frage nach der Verteilung von Primzahlen ist gleichbedeutend dazu, gute Approximationen bzw. Abschätzungen für sie durch andere, besser verstandene (analytische) Funktionen zu finden.

Ein Hauptresultat der analytischen Zahlentheorie ist der sogenannte Primzahlsatz von Hadamard und de la Vallée Pousin von 1896. Es besagt grob gesprochen, dass sich die Primzahlfunktion $\pi (x)$ in etwa so verhält wie $x/\ln (x)$, also dass der Quotient der beiden Funktionen gegen $1$ konvergiert. Hier tritt der natürliche Logarithmus (zur Basis $e$) auf.

Satz

Es gilt die asymptotische Abschätzung

$\pi (x)\sim \frac{x}{\ln (x)}.$

Das heißt

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi (x)}{\frac{x}{\ln (x)}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\pi (x)\ln (x)}{x}=1.$

Beweis

Dies ist ein Satz der analytischen Zahlentheorie, den wir hier nicht beweisen.

$◻$

Den Primzahlsatz kann man auch so verstehen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl in der Größenordnung $x$ eine Primzahl ist, gleich $\frac{1}{\ln x}$ ist. In der Tat ist sogar das Integral dazu, also der sogenannte Integrallogarithmus  $\mathrm{Li}(x)={\int }_2^x\frac{1}{\ln t}dt$,  eine bessere Approximation für $\pi (x)$ als $x/\ln x$. Für  $x=1000000$  ist  $\pi (x)=78498$,   $\mathrm{Li}(x)=78628$  und  $\frac{x}{\ln x}=72382$  (die beiden letzten Werte gerundet).