Produkt von Messräumen/Messbarkeit von Querschnitten/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass für jedes  ${}y\in N$  die Inklusionsabbildung

$\iota _{y}\colon M\longrightarrow M\times N,\,x\longmapsto (x,y),$

messbar ist. Dazu genügt es nach Fakt, die Urbilder von messbaren Mengen der Form  ${}A\times B\subseteq M\times N$  zu betrachten. Für eine solche Menge gilt

${}\iota _{y}^{-1}(A\times B)={\left\{x\in M\mid (x,y)\in A\times B\right\}}\,,$

und dies ist leer, falls  ${}y\notin B$  und gleich ${}A$, falls  ${}y\in B$.  So oder so ist sie also eine messbare Teilmenge.
Für eine beliebige Teilmenge  ${}T\subseteq M\times N$  ist daher

${}T(y)={\left\{x\in M\mid (x,y)\in T\right\}}=\iota _{y}^{-1}(T)\,$

messbar.

Zur bewiesenen Aussage