Produkt von Messräumen/Messbarkeit von Querschnitten/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass für jedes  $y\in N$  die Inklusionsabbildung

${\iota }_y:M⟶M\times N,x⟼(x,y),$

messbar ist. Dazu genügt es nach Fakt, die Urbilder von messbaren Mengen der Form  $A\times B\subseteq M\times N$  zu betrachten. Für eine solche Menge gilt

${\iota }_y^{-1}(A\times B)=\{x\in M\mid (x,y)\in A\times B\},$

und dies ist leer, falls  $y\notin B$  und gleich $A$, falls  $y\in B$.  So oder so ist sie also eine messbare Teilmenge.
Für eine beliebige Teilmenge  $T\subseteq M\times N$  ist daher

$T(y)=\{x\in M\mid (x,y)\in T\}={\iota }_y^{-1}(T)$

messbar.

Zur bewiesenen Aussage