Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir zeigen zuerst, dass die Zuordnung

ein Maß auf der Produkt--Algebra ist. Sei dazu eine abzählbare Zerlegung in paarweise disjunkte messbare Teilmengen. Nach Aufgabe ist

so dass die -Additivität erfüllt ist.
Für einen Quader ist


Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes für das Produktmaß muss daher das durch das Integral definierte Maß mit dem Produktmaß übereinstimmen.

Zur bewiesenen Aussage