Beweis
Wir zeigen zuerst, dass die Zuordnung
-
ein
Maß
auf der Produkt-
-Algebra
ist. Es sei dazu
eine
abzählbare Zerlegung
in
paarweise disjunkte
messbare Teilmengen.
Nach
Aufgabe
ist

sodass die
-Additivität
erfüllt ist.
Für einen Quader
ist
-

Aufgrund des
Eindeutigkeitssatzes für das Produktmaß
muss daher das durch das Integral definierte Maß mit dem Produktmaß übereinstimmen.