Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen zuerst, dass die Zuordnung

$𝒜\otimes ℬ⟶\overline{ℝ},T⟼{\int }_M\nu (T(x))d\mu (x),$

ein Maß auf der Produkt-$\sigma$-Algebra ist. Es sei dazu  $T=\underset{i\in I}{⨄}{T}_i$  eine abzählbare Zerlegung in paarweise disjunkte messbare Teilmengen. Nach Aufgabe ist

$\begin{array}{cc}{\int }_M\nu (T(x))d\mu & ={\int }_M\nu (\left(\underset{i\in I}{⨄}{T}_i\right)(x))d\mu \\ & ={\int }_M\nu (\underset{i\in I}{⨄}{T}_i(x))d\mu \\ & ={\int }_M\sum _{i\in I}\nu (T_i(x))d\mu \\ & =\sum _{i\in I}{\int }_M\nu (T_i(x))d\mu ,\end{array}$

sodass die $\sigma$-Additivität erfüllt ist.
Für einen Quader $A\times B$ ist

${\int }_M\nu ((A\times B)(x))d\mu ={\int }_A\nu (B)d\mu =\mu (A)\cdot \nu (B).$

Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes für das Produktmaß muss daher das durch das Integral definierte Maß mit dem Produktmaß übereinstimmen.

Zur bewiesenen Aussage