Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Messbarkeit des Querschnittsmaßes/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen die Messbarkeit der ersten Funktion $x\mapsto \nu (T(x))$. Dabei reduzieren wir zuerst auf die Situation in der das Maß $\nu$ auf $N$ endlich ist. Nach Voraussetzung gibt es eine abzählbare messbare Ausschöpfung $N_n\uparrow N$ mit  $\nu (N_n)<\mathrm{\infty }$.  Wir setzen  $T_n=T\cap (M\times N_n)$.  Dann ist $T_n\uparrow T$ und damit auch $T_n(x)\uparrow T(x)$ für jedes  $x\in M$.  Wenn wir für jedes  $n\in \mathbb{N}$  die Messbarkeit von $x\mapsto \nu (T_n(x))$ gezeigt haben, so folgt sie wegen Fakt auch für $x\mapsto \nu (T(x))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\nu (T_n(x))$. Wir können also annehmen, dass  $\nu (N)<\mathrm{\infty }$  ist.

Wir wollen zeigen, dass für jedes  $T\subseteq M\times N$  die Funktion $x\mapsto \nu (T(x))$ messbar ist.  Wie setzen

$𝒟=\{T\in 𝒜\otimes ℬ\mid \text{Die Funktion }x\mapsto \nu (T(x))\text{ ist messbar}\}$

und müssen zeigen, dass dies die gesamte Produkt-$\sigma$-Algebra ist. Zunächst gehören die messbaren Quader $A\times B$ zu $𝒟$. Es ist ja

$(A\times B)(x)=\{\begin{array}{c}B,\text{ falls }x\in A\\ \mathrm{\varnothing }\text{ sonst},\end{array}$

und damit ist

$\nu (T(x))=\nu (B)\cdot e_A(x)$

messbar. Wir zeigen, dass $𝒟$ ein Dynkin-System ist. Es ist  $M\times N\in 𝒟$.  Seien  $S\subseteq T$  Teilmengen, die zu $𝒟$ gehören. Dann ist  $(T\setminus S)(x)=T(x)\setminus S(x)$  und  $\nu ((T\setminus S)(x))=\nu (T(x))-\nu (S(x))$  ist nach Fakt messbar. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung  $T=\underset{i\in I}{⨄}{T}_i$  ist  $T(x)=\underset{i\in I}{⨄}{T}_i(x)$.  Wenn  $T_i\in 𝒟$  für alle  $i\in I$  ist, so ist die Funktion $x\mapsto \nu (T(x))=\sum _{i\in I}\nu (T_i(x))$ nach Fakt wieder messbar.
Damit ist insgesamt $𝒟$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem aller Quader für die $\sigma$-Algebra $𝒜\otimes ℬ$ enthält. Deshalb ist  $𝒟=𝒜\otimes ℬ$  nach Fakt.

Zur bewiesenen Aussage