Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Messbarkeit des Querschnittsmaßes/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen die Messbarkeit der ersten Funktion ${}x\mapsto \nu (T(x))$. Dabei reduzieren wir zuerst auf die Situation in der das Maß ${}\nu$ auf ${}N$ endlich ist. Nach Voraussetzung gibt es eine abzählbare messbare Ausschöpfung ${}N_{n}\uparrow N$ mit  ${}\nu (N_{n})<\infty$.  Wir setzen  ${}T_{n}=T\cap {\left(M\times N_{n}\right)}$.  Dann ist ${}T_{n}\uparrow T$ und damit auch ${}T_{n}(x)\uparrow T(x)$ für jedes  ${}x\in M$.  Wenn wir für jedes  ${}n\in \mathbb {N}$  die Messbarkeit von ${}x\mapsto \nu (T_{n}(x))$ gezeigt haben, so folgt sie wegen Fakt auch für ${}x\mapsto \nu (T(x))=\lim _{n\rightarrow \infty }\nu (T_{n}(x))$. Wir können also annehmen, dass  ${}\nu (N)<\infty$  ist.

Wir wollen zeigen, dass für jedes  ${}T\subseteq M\times N$  die Funktion ${}x\mapsto \nu (T(x))$ messbar ist.  Wie setzen

${\mathcal {D}}={\left\{T\in {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}\mid {\text{Die Funktion }}x\mapsto \nu (T(x)){\text{ ist messbar}}\right\}}\,$

und müssen zeigen, dass dies die gesamte Produkt-${}\sigma$-Algebra ist. Zunächst gehören die messbaren Quader ${}A\times B$ zu ${}{\mathcal {D}}$. Es ist ja

${}(A\times B)(x)={\begin{cases}B,{\text{ falls }}x\in A\\\emptyset {\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

und damit ist

${}\nu (T(x))=\nu (B)\cdot e_{A}(x)\,$

messbar. Wir zeigen, dass ${}{\mathcal {D}}$ ein Dynkin-System ist. Es ist  ${}M\times N\in {\mathcal {D}}$.  Seien  ${}S\subseteq T$  Teilmengen, die zu ${}{\mathcal {D}}$ gehören. Dann ist  ${}(T\setminus S)(x)=T(x)\setminus S(x)$  und  ${}\nu ((T\setminus S)(x))=\nu (T(x))-\nu (S(x))$  ist nach Fakt messbar. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung  ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$  ist  ${}T(x)=\biguplus _{i\in I}T_{i}(x)$.  Wenn  ${}T_{i}\in {\mathcal {D}}$  für alle  ${}i\in I$  ist, so ist die Funktion ${}x\mapsto \nu (T(x))=\sum _{i\in I}\nu (T_{i}(x))$ nach Fakt wieder messbar.
Damit ist insgesamt ${}{\mathcal {D}}$ ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem aller Quader für die ${}\sigma$-Algebra ${}{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ enthält. Deshalb ist  ${}{\mathcal {D}}={\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$  nach Fakt.

Zur bewiesenen Aussage