Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Messbarkeit des Querschnittsmaßes/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir zeigen die Messbarkeit der ersten Funktion . Dabei reduzieren wir zuerst auf die Situation in der das Maß auf endlich ist. Nach Voraussetzung gibt es eine abzählbare messbare Ausschöpfung mit . Wir setzen . Dann ist und damit auch für jedes . Wenn wir für jedes die Messbarkeit von gezeigt haben, so folgt sie wegen Fakt auch für . Wir können also annehmen, dass ist.

Wir wollen zeigen, dass für jedes die Funktion messbar ist.  Wie setzen

und müssen zeigen, dass dies die gesamte Produkt--Algebra ist. Zunächst gehören die messbaren Quader zu . Es ist ja

und damit ist

messbar. Wir zeigen, dass ein Dynkin-System ist. Es ist . Seien Teilmengen, die zu gehören. Dann ist und ist nach Fakt messbar. Für eine disjunkte abzählbare Vereinigung ist . Wenn für alle ist, so ist die Funktion nach Fakt wieder messbar.
Damit ist insgesamt ein Dynkin-System, das das durchschnittsstabile Erzeugendensystem aller Quader für die -Algebra enthält. Deshalb ist nach Fakt.

Zur bewiesenen Aussage