Produktmenge/Teilmenge/Querschnitt und Faser/Charakterisierung der Messbarkeit/Aufgabe

Es seien $(M,𝒜)$ und $(N,ℬ)$ zwei Messräume, die nicht leer seien und wobei die einelementigen Teilmengen messbar seien. Alle Teilmengen von $M\times N$ seien mit der durch $𝒜\otimes ℬ$ induzierten $\sigma$-Algebra versehen. Es sei  $S\subseteq M$.  Zeige, dass folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. $S$ ist eine messbare Teilmenge von $M$.
2. Es gibt ein  $y\in N$  derart, dass  $S\times \{y\}\subseteq M\times \{y\}$  messbar ist.
3. Für alle  $y\in N$  ist  $S\times \{y\}\subseteq M\times \{y\}$  messbar.
4. Es gibt ein $y\in N$ derart, dass $S\times \{y\}$ messbar in $M\times N$ ist.
5. Für alle  $y\in N$  ist $S\times \{y\}$ messbar in $M\times N$.

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