Projekt:Computeralgebra-Berechnungen/Symmetrische Hilbert-Kunz Theorie/Polynomring in drei Variablen, einfach korrigierte symmetrische Codimension

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Sei ein Ideal und sei


die zugehörige freie Auflösung auf . Also mit , Bild und Kern in . Man hat exakte Sequenzen


und

Sei

Man hat also die kurze exakte Sequenz

Da auf gilt für alle , ergeben sich aus den beiden kurzen exakten Sequenzen die Cohomologiesequenzen


D.h. wenn wir die symmetrische Codimension sowie die für alle Twists berechnen können, dann ergibt sich


als Wechselsumme bekannter Terme.

Dieses ist die korrigierte symmetrische Codimension, ist die symmetrische Codimension und ist der Korrekturterm.

Beispiele[Bearbeiten]

/x,y,z (Kontrollbeispiel)

x^2,y^2,z^2;xyz (Paraklasse im Polynomring; auf Fermat-Kurve im solid closure in Charakterisitk null, die Zugehörigkeit zum tight closure variiert mit der Charakteristik)

/x^2-y^2,y^2-z^2,xy,xz Hier hat der letzte Auflösungsmodul den Rang , die globalen Schnitte von sind also durch die Auflösung eindeutig bestimmt.

/x^3,y^3,z^3;xyz und Ideal mit numerisch gleicher Auflösung

/x^3,y^3,z^3;xy^2+yz^2+zx^2 und Ideal mit numerisch gleicher Auflösung