Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Das Kategoriensystem

Dieses Projekt ist nur zu verwirklichen, wenn es durch ein detailliertes und übersichtliches Kategoriensystem unterstützt wird, das die Auffindung geeigneter Textbaussteine ermöglicht. Der Aufbau ist ein mühsamer aber am Ende lohnenswerter Prozess, und viele konzeptionelle Überlegungen werden nötig sein. Von den bisherigen Anfangserfahrungen her (aber auch bei einem Blick auf Commons) lassen sich folgende Prinzipien ableiten:

Prinzipien

• Das Kategoriensystem muss sehr detailiert sein. Wenn man zehn Mal klicken muss, um etwas zu finden, ist das manchmal langatmig, es ist aber weit schlimmer, wenn man etwas nicht findet.

• Es wird grundsätzlich nur in die feinste Unterkategorie einsortiert, nicht zusätzlich auch in Oberkategorien (der Fehler wird auf Wiki-Commons immer wieder begangen). Eine Seite ist ja automatisch durch die Kategorieverknüpfung auch in den höheren Kategorien mit einsortiert, wenn auch nicht direkt.

• Das Kategoriensystem sollte hauptsächlich semantisch orientiert sein. Sowohl ein Autor als auch ein Student befindet sich jeweils in einem semantischen (theoretischen) Kontext (wie dem Chinesischen Restsatz oder der Homotopietheorie von Sphären), und sucht dort nach einer Aufgabe oder einem Beweis. Hauptorientierung für die Kategorisierung sind demnach die Theorie-Kategorien. Erst wenn diese hinreichend fein bestimmt worden ist, sollten auch zusätzliche Aspekte wie der Texttyp berücksichtigt werden.

• Kategorisiert wird entlang inhaltlicher intrinsischer Kriterien (also am Inhalt der Seite), nicht entlang der Verwendung in bestimmten Kursen.

• Wichtig scheint ferner der Unterschied zwischen Theorien und Objekten zu sein. So gibt es die Theorie der Hauptidealbereiche, in der eben die Theorie mit ihren Definitionen, Sätzen, Anwendungen entwickelt wird, und die Objekte dieser Theorie, also die wirklichen (konkreten) Hauptidealbereiche wie $\mathbb {Z}$ oder $\mathbb {F} _{5}[X]$. In Büchern heißt eine Kapitelüberschrift typischerweise schlicht 'Hauptidealbereiche', wobei es genauer um die Theorie der Hauptidealbereiche geht, in der natürlich auch konkrete Hauptidealbereiche als Beispiele auftauchen. Hier sollte man (auch wenn man an Wiki-Commons denkt) von Anfang an konsequent sein und beides, Theorie der Hauptidealbereiche und Klasse der Hauptidealbereiche, als eindeutige Kategorienamen verwenden, auch wenn das manchmal etwas übertrieben oder künstlich erscheint.

• Es ist an eine wissenschaftliche Kategorisierung gedacht; man sollte nur in denjenigen Gebieten sich beteiligen, in denen man Erfahrungen hat.

• Kategorisiert werden sollten nur fertige, verwendbare, verwertbare, mathematisch korrekte Seiten (eventuell könnte man sich Unterkategorien wie Kategoriename/Unfertig vorstellen).

• Bei Unklarheiten über die Einsortierung sollte auf keinen Fall grob eingeordnet werden, sondern, wenn überhaupt, unter Kategorienamen/Unsortiert (wobei man die Kategorie wählt, derer man sich sicher ist).

• Eine Zumüllung konsequent vermeiden.

• Es ist besser, wenn das Kategoriensystem sich langsam und stringent entwickelt, als ungestüm.

Verschiedene Kategorieformen

Als Kategorien sind zunächst die folgenden (Mathematik-ontologischen) Arten zu unterscheiden:

• Theorie-Kategorie

• Klassen-Kategorie

• Objekt-Kategorie

• Elemente-Kategorie

• Element-Kategorie

Diese sind wie folgt festgelegt.

Theorie-Kategorie

Eine mathematische Theorie-Kategorie enthält Seiten und Unterkategorien, die sich auf das im Kategorienamen angeprochene mathematische Gebiet beziehen. Es kann sich dabei um ein umfassendes mathematisches Gebiet (Analysis, Algebra, Topologie) oder (typischer) um ein spezielleres Teilgebiet handeln, wie es etwa einem Kapitel oder einem Unterabschnitt in einem mathematischen Buch entspricht. Dazu können auch Konstruktionen, Methoden, Algorithmen und wichtige Sätze gehören. Wie in der Mathematik selbst sollen hier die mathematischen Texte bzw. Textbausteine hauptsächlich gemäß den Theorien, zu denen sie gehören, kategorisiert werden.

Als Unterkategorien sind folgende drei Typen zu unterscheiden:

Unterkategorien nach Textarten, also nach Definitionen, Fakten (Sätze, Lemmata), Beweise, Bemerkungen, Aufgaben, Textabschnitte, Merkblätter, Klausuren, etc. Deren Name soll so aussehen:Name der Theorie-Kategorie/Definitionen, Name der Theorie-Kategorie/Fakten etc., wobei der Theorie-Namen unverändert übernommen wird. Ihre Einordnung in die Theorie-Kategorie erfolgt durch [[Kategorie: Name der Theorie-Kategorie| Definitionen]] . Es wird also nach dem Strich ein Abstand gelassen, so dass diese Textform-Unterkategorien in der Theorie-Kategorie am Anfang und (nach Textart) alphabetisch geordnet, aber ohne Buchstaben erscheinen. Diese Einordnung geschieht auch bei Benutzung der Vorlage:Definitions-Kategorie unter mit der Syntax {{Definitions-Kategorie unter|Name der Theorie-Kategorie}} (und ähnlichen), wobei gleichzeitig die Kategorie typisiert wird.

Die zugehörigen Klassen-Kategorien. Hier gibt es in der Regel nur einige wenige, in die (über Unterkategorien) die eigentlichen konkreten Objekte der Theorie eingeordnet werden. Sie sollte durch 'Klasse der Objekte' bezeichnet werden, und durch [[Kategorie: Name der Theorie-Kategorie|~]] in die Theorie-Kategorie eingeordnet. Dadurch erscheint die Klassen-Kategorie immer an der gleichen Stelle. Dies geschieht auch mit {{Klassen-Kategorie unter|Name der Theorie-Kategorie}}, was gleichzeitig typisiert.

Die Theorie-Unterkategorien. Sie sind selbst Theorie-Kategorien, die sich auf ein Teilgebiet der gegebenen Theorie beziehen. Eine Theorie-Unterkategorie kann sich durch einen engeren Untersuchungsgegenstand (beispielsweise niedrig-dimensionale Topologie) oder durch bestimmte Metheoden (beispielsweise algebraische Topologie) von dem größeren Theoriegebiet abgrenzen. Sie sollte durch [[Kategorie: Name der Theorie-Kategorie|Stichwort]] in die Theorie-Kategorie eingeordnet werden, so dass es dort alphabetisch nach dem Stichwort geordnet unter dem Buchstaben erscheint. {{Theorie-Kategorie unter|Name der Theorie-Kategorie|Stichwort}} ist wirkungsgleich, erzeugt aber zusätzlich eine Typisierung.

Beispiele: Kategorie:Theorie der quadratischen Zahlbereiche, Kategorie:Theorie der euklidischen Bereiche, Kategorie:Theorie der Restklassenringe von Z.

Klassen-Kategorie

In der Klassen-Kategorie zu einer Theorie-Kategorie werden (über Unterkategorien) die konkreten Objekte der Theorie eingeordnet.

Eine mathematische Theorie besitzt in der Regel einen (manchmal mehrere) Hauptuntersuchungsgegenstand, die die Klasse ihrer Objekte bilden. Für die Topologie sind das die topologischen Räume (und die stetigen Abbildungen), für die kommutative Algebra sind das die kommutativen Ringe und ihre Moduln, für die Analysis sind das differenzierbare Funktionen, Folgen, etc. Das sind die Objekte, die man mit Hilfe der in der Theorie entwickelten Konzepte und Methoden verstehen möchte. Ein solches Objekt ist letztlich konkret gegeben und detailiert bestimmt (häufig als eine fixierte Menge mit zusätzlichen fixierten Strukturen), so dass die definierten Begriffe der Theorie darauf zutreffen oder nicht.

In einer Klassen-Kategorie stehen demnach:

Unterklassen-Kategorien. Diese sind selbst Klassen-Kategorien, die eine engere Klasse von Objekten umfassen. Klassen-Kategorien und ihre Unterkategorien werden durch Eigenschaft beschrieben, etwa: Klasse der topologischen Räume - Klasse der kompakten Räume - Klasse der kompakten Mannigfaltigkeiten oder Klasse der normalen Integritätsbereiche - Klasse der faktoriellen Integritätsbereiche - Klasse der Hauptidealbereiche. Hierbei ist grundsätzlich auch die Verwendung von negierten Eigenschaften und von konjugierten Eigenschaften sinnvoll (was bei Theorien eher eine Ausnahme ist). Man interessiert sich ja oft dafür, ob es Beispiele für Objekte gibt, die zwar diese und jene Eigenschaft haben, nicht aber eine dritte Eigenschaft (wie etwa normale eindimensionale Ringe, die keine Hauptidealbereiche sind). Grundsätzlich kann man sagen, dass jede mathematische Eigenschaft, die irgendwo einem mathematischen Objekt zugeordnet wird, Anlass zu einer Klassenkategorie gibt.

In hinreichend feinen Klassen-Kategorien stehen die Objekt-Kategorien. Diese entsprechen einem konkreten mathematischen Objekt, etwa der zwei-dimensionalen Sphäre oder $\mathbb {F} _{5}[X]$

Klassen-Kategorie werden in übergeordnete Klassen-Kategorien als [[Kategorie: Oberklasse-Kategoriename|Stichwort]] alphabetisch eingeordnet, und in entsprechende Theorie-Kategorien durch [[Kategorie: Theorie-Kategoriename|!]] , so dass sie immer an derselben Stelle in der Theorie-Kategorie stehen. Letzteres wird auch durch {{Klassen-Kategorie unter|Name der Theorie-Kategorie}} erreicht, was zusätzlich typisiert.

Klassen, die durch negative Eigenschaften bestimmt sind

Grundsätzlich ist es im Bereich der Kategorisierung der mathematischen Objekte in Klassen sinnvoll, auch solche Klassen zuzulassen, die durch die Negation einer Eigenschaft entstehen. Dies ist verschiedenen von einer Theorie-Kategorien. In der Kategorie `Theorie der Hauptidealbereiche' werden sowohl Kriterien für Hauptidealbereiche entwickelt als auch Kriterien, die dagegen sprechen (eine Folgerung aus H ist, durch Kontraposition, zugleich ein Kriterium für nicht-H). Im Bereich der Klassen ist es aber eine wichtige Eigenschaft eines Objektes, ob es die Eigenschaft H hat oder nicht, und das soll durch die Zuordnung zur Klasse H oder zur Klasse nicht H auch ausgedrückt werden.

Dies ist auch deshalb sinnvoll, wenn man nach (Gegen-)Beispielen mit bestimmten Eigenschaften sucht. Häufig sucht man dabei nach einem Beispiel, das zwar die Eigenschaften ${}E_{1},...,E_{n}$ besitzt, nicht aber die Eigenschaft ${}E_{n+1}$ (man möchte zeigen, dass die ersten ${}n$ Eigenschaften nicht die ${}n+1$ Eigenschaft implizieren). Auf diese Weise entsteht zugleich ein Kompendium an Gegenbeispielen.

Klassen, die durch Konjunktionen von Eigenschaften bestimmt sind

Aus den zuvor genannten Gründen ist es auch sinnvoll, Konjunktionen von Eigenschaften zur Festlegung von Klassen-Kategorien zuzulassen. Die Klasse, die durch die Konjunktion ${}E_{1}\wedge \ldots \wedge E_{n}$ festgelegt ist (wobei die ${}E_{i}$ selbst positiv oder negativ formuliert sein können), ist automatisch eine Unterklassen-Kategorie der durch ${}E_{1}\wedge \ldots \wedge E_{k-1}\wedge E_{k+1}\wedge \ldots \wedge E_{n}$ definierten Klassen-Kategorie.

Zusammenhang zu mathematischen Klassifikationen

In vielen Gebieten der Mathematik interessiert man sich für die Klassifikation der Objekte, wobei man häufig versucht, numerische Invarianten zu finden, die die Objekte unterscheiden. So werden beispielsweise glatte algebraische Kurven durch ihr sogenanntes Geschlecht, einer topologischen Invariante, unterschieden. Solche Invarianten sollen auch hier in der Kategorisierung der Klassen und ihrer Unterklassen Verwendung finden. Es ist aber auch zu beachten, dass die mathematische Klassifikation selbst häufig nur grobe Unterklassen liefern, und die einzelnen Objekte der Unterklasse durch zusätzliche Parameter bestimmt sind (Modulraum). Im Beispiel der algebraischen Kurven legt das Geschlecht zwar die topologische Struktur fest, d.h., die Klassifikation liefert auf topologischer Ebene eine vollständige Einteilung der Objekte; die algebraischen Strukturen bzw. die komplexe Struktur wird aber nicht dadurch festgelegt, sondern es gibt mehrere algebraische Strukturen auf einer Kurven von einem gegebenen Geschlecht. Demnach bilden 'die algebraischen Kurven vom Geschlecht zwei über $\mathbb {C}$´ eine Klassen-Kategorie, und keine Objekt-Kategorie (ein Objekt darin wäre eine konkrete, etwa durch eine konkrete Gleichung gegebene, algebraische Kurve).

Beispiele

Für Beispiele zu Klassen-Kategorien siehe Kategorie:Die Restklassenringe von Z, Kategorie:Euklidische imaginär-quadratische Zahlbereiche, Kategorie:Nicht-faktorielle imaginär-quadratische Zahlbereiche, Kategorie:Faktorielle nicht-euklidische imaginär-quadratische Zahlbereiche.

Objekt-Kategorie

Eine mathematische Objekt-Kategorie gehört zu einem konkreten, detailliert bestimmten, mathematischen Objekt, wie etwa der zwei-dimensionalen Sphäre, dem Polynomring $\mathbb {F} _{5}[X]$ über $\mathbb {F} _{5}$, oder dem Körper der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ etc. Ein solches Objekt wird häufig beschrieben als eine fixierte Menge mit zusätzlichen fixierten Strukturen, so dass die definierten Begriffe der Theorie darauf zutreffen oder nicht. In mathematischen Texten erscheinen sie häufig als Beispiele oder auch in Aufgaben.

Eine Objekt-Kategorie enthält:

Nach Textarten geordnete Unterkategorien, wie Objekt-Kategoriename/Aufgaben (worin Aufgaben gesammelt werden, in denen das Objekt vorkommt), oder Objekt-Kategoriename/Beispiele, Objekt-Kategoriename/Beschreibungen etc. Diese werden durch [[Kategorie: Objekt-Kategoriename| Aufgaben]] (mit Leerzeichen) in die Objekt-Kategorie eingeordnet, so dass sie dort zwar alphabetisch, aber ohne Anfangsbuchstaben, oben erscheinen. Dies wird auch durch {{Aufgaben-Kategorie unter|Name der Objekt-Kategorie}} erzeugt, was zugleich typisiert.

Seiten, in denen das Objekt (in entscheidender Weise) vorkommt, wo das Objekt oder Teilaspekte davon beschrieben werden, wo Eigenschaften davon bestimmt werden, wo Invarianten dazu ausgerechnet werden. Solche Seiten sollen durch [[Kategorie: Objekt-Kategoriename|Stichwort der Seite]] in die Objektkategorie eingeordnet werden, so dass sie dort alphabetisch unter dem Anfangsbuchstaben des Stichworts erscheinen.

Eine Objekt-Kategorie wird in eine durch (feine, auch negierte und konjugierte) Eigenschaften bestimmte Klassen-Kategorie durch [[Kategorie: Klassen-Kategoriename|Stichwort der Objektkategorie]] alphabetisch mit Anfangsbuchstabe eingeordnet. Dies geschieht auch durch {{Objekt-Kategorie unter|Name der Klassen-Kategorie|Stichwort}}, was zugleich typisiert.

Beispiele: Kategorie: Der Restklassenkörper Z mod 5, Kategorie:Der Ring der Gaußschen Zahlen.

Elemente-Kategorie

Eine mathematische Elemente-Kategorie (wichtig:Plural) beinhaltet Seiten und Unterkategorien, die sich auf (verschiedene) einzelne Elemente eines mathematischen Objektes beziehen. In aller Regel ist ein mathematisches Objekt eine Menge mit zusätzlichen Strukturen, und dies ist das eigentliche mathematische Studienobjekt, wie beispielsweise der Ring der Gaußschen Zahlen oder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Gelegentlich interessiert man sich dann auch für einzelne konkrete Elemente in dieser Menge (also konkrete Gaußsche Zahlen, oder konkrete Punkte auf der Mannigfaltigkeit mit besonderen Eigenschaften).

Eine Elemente-Kategorie enthält:

Element-Kategorien (Singular!), die sich jeweils auf ein einzelnes konkretes Element innerhalb des Objekts beziehen. Diese werden durch [[Kategorie: Elemente-Kategoriename| Elementbezeichnung]] einsortiert. (Eine Element-Kategorie verhält sich zu einer Elemente-Kategorie wie eine Objekt-Kategorie zu einer Klassen-Kategorie, nur auf einer anderen ontologischen Ebene.)

Seiten, in denen einzelne Elemente (in entscheidender Weise) vorkommen, wo die Elemente oder Teilaspekte davon beschrieben werden, wo Eigenschaften davon bestimmt werden, wo Invarianten dazu ausgerechnet werden. Solche Seiten sollen durch [[Kategorie: Elemente-Kategoriename|Stichwort der Seite]] in die Elemente-Kategorie eingeordnet werden, so dass sie dort alphabetisch unter dem Anfangsbuchstaben des Stichworts erscheinen.

Die Elemente-Kategorie zu einer Objekt-Kategorie wird in diese durch [[Kategorie: Objekt-Kategoriename|!]] eingeordnet.

Beispiele: Kategorie: Elemente im Ring der Gaußschen Zahlen.

Element-Kategorie

Eine mathematische Element-Kategorie (wichtig:Singular) beinhaltet Seiten, die sich auf ein einzelnes Element einer Menge beziehen, wobei die Menge ein mathematisches Objekt bildet. In aller Regel ist ein mathematisches Objekt eine Menge mit zusätzlichen Strukturen, und dies ist das eigentliche mathematische Studienobjekt, wie beispielsweise der Ring der Gaußschen Zahlen oder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Gelegentlich interessiert man sich dann aber auch für ein einzelnes konkretes Element in dieser Menge (also eine konkrete Gaußsch Zahl, oder einen konkreten Punkt auf der Mannigfaltigkeit mit besonderen Eigenschaften).

Eine Element-Kategorie enthält:

Seiten, in denen das Element (in entscheidender Weise) vorkommt, wo es oder Teilaspekte davon beschrieben werden, wo Eigenschaften davon bestimmt werden, wo Invarianten dazu ausgerechnet werden. Solche Seiten sollen durch [[Kategorie: Element-Kategoriename|Stichwort der Seite]] in die Element-Kategorie eingeordnet werden, so dass sie dort alphabetisch unter dem Anfangsbuchstaben des Stichworts erscheinen.

Die Element-Kategorie wird in die Elemente-Kategorie (Plural!) der Objekt-Kategorie durch [[Kategorie: Elemente-Kategoriename|Elementbezeichnung]] eingeordnet.

Beispiele: Konkrete Zahlen wie $i$, $\pi$ etc., als Elemente der komplexen bzw. der reellen Zahlen, verdienen eine eigene Element-Kategorie. Einzelne Funktionen oder Folgen sollten aber als Objekte angesehen werden, da sie selbst als Mengen (eine Abbildung ist eine Teilmenge der Produktmenge) definiert werden (eine Punktepaar $(x,f(x))$, etwa ein Maximum, wären dann wiederum ein Element davon).

Text-Kategorien

Die folgenden Kategorien sind Text-Kategorien. Sie orientieren sich an den üblichen Textformen eines mathematischen Textes.

Aufgaben-Kategorie

Aufgaben mit Lösung-Kategorie

Beispiel-Kategorie

Bemerkungs-Kategorie

Beweis-Kategorie

Definitions-Kategorie

Fakten-Kategorie

Fakten mit Beweis-Kategorie

Größere Textzusammenhänge gehören zu

Textabschnitts-Kategorie

Spezialfälle davon sind

Aufgabenblatt-Kategorie,

Klausur-Kategorie.

Die einzelnen Kategorien sollen nach

mathematisch-ontologische Kategorie/Textform

benannt werden. Dabei soll aus der Bezeichnung erkennbar sein, welche Art an Kategorie vorliegt. Zur weiteren Verdeutlichung soll in der Kategorie selbst die Art der Kategorie explizit gemacht werden.

Typisierungsvorlagen für Kategorien

In den Kategorien sollen die folgenden Vorlagen verwendet werden, um klar zu machen, um was für eine Kategorie es sich handelt.

Die Vorlage

{{Theorie-Kategorie}}

erzeugt

Diese Kategorie ist eine mathematische Theorie-Kategorie.

Entsprechend wirken die Vorlagen {{Klassen-Kategorie}}, {{Objekt-Kategorie}}, {{Elemente-Kategorie}}, {{Element-Kategorie}}.

Für Text-Kategorien gibt es Varianten der Vorlagen mit dem Zusatz 'unter' und einem Parameter für die Theorie-Kategorie, die die Text-Kategorie zugleich in die Theorie-Kategorie richtig einsortiert (wie schon oben erwähnt). Ebenso gibt es 'unter'-Vorlagen für die anderen Kategorien, die die Kategorie zugleich typisieren und einordnen.

Verhältnis zu anderen Kategorisierungen

Die MSC-Kategorisierung sollte grundsätzlich berücksichtigt werden, liefert aber nur eine grobe Einteilung, und ist auch nicht für die Einteilung von einzelnen Textbausteinen gedacht. Das gleiche gilt für die mathematischen Kategorien von Wikipedia und Commons.

Nutzungsarten für das Kategoriensystem

Das Kategoriensystem dient beim Entwurf und Schreiben von größeren mathematischen Texten (Vorträge, Vorlesungen, Entwurf von Kursen und Unterrichtsstunden) in erster Linie dem Auffinden von geeigneten Textbausteinen, die schon jemand anders geschrieben hat. In der Praxis wird ein Autor zwischen den beiden folgenden Rollen hin- und her wechseln.

• Für Autor(inn)en I (erstellen von Textbausteinen und kategorisieren)

Autoren, die verwertbare mathematische Textbausteine verfassen wollen, sollen diese gemäß der hier entwickelten (bzw. zu entwickelnden) Systematik kategorisieren, mit der man sich vertraut machen sollte. Dabei sind laufend geeignete präzise Unterkategorien anzulegen. Es soll grundsätzlich keine direkte Einordnung in große Kategorien stattfinden, bei Unsicherheit sollte unter [[Kategorie: Kategoriename (unsortiert)]] einsortiert werden, so dass die Hauptkategorien nicht zugemüllt werden. Zugleich kann man hier Kontakt aufnehmen.

• Für Autoren II (auffinden und verwenden von Textbausteinen)

Autoren, die an einem Haupttext (Vortrag, Aufgabenblatt, Kapitel, Artikel) arbeiten, können über das Kategoriensystem geeignete Texte finden, wie Definitionen, Sätze, Beweise, Aufgaben. Für die Navigation sollte man sich dabei an dem inhaltlichen, präzise eingegrenzten Thema dessen orientieren, was man in seinem Haupttext gerade darstellen will (also der Theorie). Wenn man einen Seminarvortrag über Hauptidealbereiche schreiben möchte, geht man auf Kategorie:Theorie der Hauptidealbereiche, und wenn man sich dabei auf Polynomringe über einem Körper beschränken möchte, geht man weiter auf Kategorie:Theorie der Polynomringe in einer Variablen über Körpern und schaut, ob es geeignete Texte gibt. Diese Textbausteine können dann direkt oder mittels Vorlagen eingelesen werden.

Wenn man mit der vorgefundenen Formulierung nicht ganz glücklich ist, so kann man den Text in eine neue Seite kopieren (mit subst:) und dort nach Belieben verändern und eine Variante des Textbausteins anlegen (ohne die vorgefundene Version, auf die eventuell von irgendwo aus zugegriffen wird, zu zerstören). Bei kleinen Änderungen kann man die Seite auch durch Einführen von Parametern so gestalten, dass durch Festlegung der Parameter im Haupttext die gewünschte Version entsteht, ohne das was zerstört wird (offensichtliche Fehler sollen geändert werden). Man kann auch in den Haupttext kopieren und dort alles nach Belieben weiterverwerten.

Bei dieser Arbeitsweise empfiehlt es sich, gleichzeitig mehrere Browserfenster geöffnet zu haben, eine für die eigentlich zu bearbeitende Seite, eine zweite für inhaltlich benachbarte, neulich bearbeitete Seiten, eine dritte für Kategorien, aus denen man sich bedienen möchte, eine vierte für weitere Hilfsmittel, etc.

• Für Studenten (lernen)

Über das Kategoriensystem kann man geeignete Lernmaterialien finden. Ein Student ist grundsätzlich auch Autor für Lernmaterialien wie Merkblätter, Übersichten, Definitionslisten, virtuelle Karteikasten, Spickzettel, Mindmaps.

• Für Forscher (prinzipielle Möglichkeiten)

Das Kategoriensystem dient grundsätzlich als Suchsystem für mathematische Texte. Über das Klassen-Kategoriesystem kann man herausfinden, ob es mathematische Objekte (Beispiele) mit bestimmten Eigenschaften (wo die Eigenschaften $E_{1}$ bis $E_{n}$ gelten, aber nicht $E_{n+1}$) gibt.