Projekt:Semantische Organisation der Mathematik/Das Kategoriensystem/Verschiedene Kategorieformen

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Als Kategorien sind zunächst die folgenden (Mathematik-ontologischen) Arten zu unterscheiden:

  • Theorie-Kategorie
  • Klassen-Kategorie
  • Objekt-Kategorie
  • Elemente-Kategorie
  • Element-Kategorie

Diese sind wie folgt festgelegt.


Theorie-Kategorie[Bearbeiten]

Eine mathematische Theorie-Kategorie enthält Seiten und Unterkategorien, die sich auf das im Kategorienamen angeprochene mathematische Gebiet beziehen. Es kann sich dabei um ein umfassendes mathematisches Gebiet (Analysis, Algebra, Topologie) oder (typischer) um ein spezielleres Teilgebiet handeln, wie es etwa einem Kapitel oder einem Unterabschnitt in einem mathematischen Buch entspricht. Dazu können auch Konstruktionen, Methoden, Algorithmen und wichtige Sätze gehören. Wie in der Mathematik selbst sollen hier die mathematischen Texte bzw. Textbausteine hauptsächlich gemäß den Theorien, zu denen sie gehören, kategorisiert werden.


Als Unterkategorien sind folgende drei Typen zu unterscheiden:

Unterkategorien nach Textarten, also nach Definitionen, Fakten (Sätze, Lemmata), Beweise, Bemerkungen, Aufgaben, Textabschnitte, Merkblätter, Klausuren, etc. Deren Name soll so aussehen:Name der Theorie-Kategorie/Definitionen, Name der Theorie-Kategorie/Fakten etc., wobei der Theorie-Namen unverändert übernommen wird. Ihre Einordnung in die Theorie-Kategorie erfolgt durch [[Kategorie: Name der Theorie-Kategorie| Definitionen]] . Es wird also nach dem Strich ein Abstand gelassen, so dass diese Textform-Unterkategorien in der Theorie-Kategorie am Anfang und (nach Textart) alphabetisch geordnet, aber ohne Buchstaben erscheinen. Diese Einordnung geschieht auch bei Benutzung der Vorlage:Definitions-Kategorie unter mit der Syntax {{Definitions-Kategorie unter|Name der Theorie-Kategorie}} (und ähnlichen), wobei gleichzeitig die Kategorie typisiert wird.
Die zugehörigen Klassen-Kategorien. Hier gibt es in der Regel nur einige wenige, in die (über Unterkategorien) die eigentlichen konkreten Objekte der Theorie eingeordnet werden. Sie sollte durch 'Klasse der Objekte' bezeichnet werden, und durch [[Kategorie: Name der Theorie-Kategorie|~]] in die Theorie-Kategorie eingeordnet. Dadurch erscheint die Klassen-Kategorie immer an der gleichen Stelle. Dies geschieht auch mit {{Klassen-Kategorie unter|Name der Theorie-Kategorie}}, was gleichzeitig typisiert.
Die Theorie-Unterkategorien. Sie sind selbst Theorie-Kategorien, die sich auf ein Teilgebiet der gegebenen Theorie beziehen. Eine Theorie-Unterkategorie kann sich durch einen engeren Untersuchungsgegenstand (beispielsweise niedrig-dimensionale Topologie) oder durch bestimmte Metheoden (beispielsweise algebraische Topologie) von dem größeren Theoriegebiet abgrenzen. Sie sollte durch [[Kategorie: Name der Theorie-Kategorie|Stichwort]] in die Theorie-Kategorie eingeordnet werden, so dass es dort alphabetisch nach dem Stichwort geordnet unter dem Buchstaben erscheint. {{Theorie-Kategorie unter|Name der Theorie-Kategorie|Stichwort}} ist wirkungsgleich, erzeugt aber zusätzlich eine Typisierung.


Beispiele: Kategorie:Theorie der quadratischen Zahlbereiche, Kategorie:Theorie der euklidischen Bereiche, Kategorie:Theorie der Restklassenringe von Z.


Klassen-Kategorie[Bearbeiten]

In der Klassen-Kategorie zu einer Theorie-Kategorie werden (über Unterkategorien) die konkreten Objekte der Theorie eingeordnet.

Eine mathematische Theorie besitzt in der Regel einen (manchmal mehrere) Hauptuntersuchungsgegenstand, die die Klasse ihrer Objekte bilden. Für die Topologie sind das die topologischen Räume (und die stetigen Abbildungen), für die kommutative Algebra sind das die kommutativen Ringe und ihre Moduln, für die Analysis sind das differenzierbare Funktionen, Folgen, etc. Das sind die Objekte, die man mit Hilfe der in der Theorie entwickelten Konzepte und Methoden verstehen möchte. Ein solches Objekt ist letztlich konkret gegeben und detailiert bestimmt (häufig als eine fixierte Menge mit zusätzlichen fixierten Strukturen), so dass die definierten Begriffe der Theorie darauf zutreffen oder nicht.

In einer Klassen-Kategorie stehen demnach:

Unterklassen-Kategorien. Diese sind selbst Klassen-Kategorien, die eine engere Klasse von Objekten umfassen. Klassen-Kategorien und ihre Unterkategorien werden durch Eigenschaft beschrieben, etwa: Klasse der topologischen Räume - Klasse der kompakten Räume - Klasse der kompakten Mannigfaltigkeiten oder Klasse der normalen Integritätsbereiche - Klasse der faktoriellen Integritätsbereiche - Klasse der Hauptidealbereiche. Hierbei ist grundsätzlich auch die Verwendung von negierten Eigenschaften und von konjugierten Eigenschaften sinnvoll (was bei Theorien eher eine Ausnahme ist). Man interessiert sich ja oft dafür, ob es Beispiele für Objekte gibt, die zwar diese und jene Eigenschaft haben, nicht aber eine dritte Eigenschaft (wie etwa normale eindimensionale Ringe, die keine Hauptidealbereiche sind). Grundsätzlich kann man sagen, dass jede mathematische Eigenschaft, die irgendwo einem mathematischen Objekt zugeordnet wird, Anlass zu einer Klassenkategorie gibt.
In hinreichend feinen Klassen-Kategorien stehen die Objekt-Kategorien. Diese entsprechen einem konkreten mathematischen Objekt, etwa der zwei-dimensionalen Sphäre oder


Klassen-Kategorie werden in übergeordnete Klassen-Kategorien als [[Kategorie: Oberklasse-Kategoriename|Stichwort]] alphabetisch eingeordnet, und in entsprechende Theorie-Kategorien durch [[Kategorie: Theorie-Kategoriename|!]] , so dass sie immer an derselben Stelle in der Theorie-Kategorie stehen. Letzteres wird auch durch {{Klassen-Kategorie unter|Name der Theorie-Kategorie}} erreicht, was zusätzlich typisiert.

Klassen, die durch negative Eigenschaften bestimmt sind[Bearbeiten]

Grundsätzlich ist es im Bereich der Kategorisierung der mathematischen Objekte in Klassen sinnvoll, auch solche Klassen zuzulassen, die durch die Negation einer Eigenschaft entstehen. Dies ist verschiedenen von einer Theorie-Kategorien. In der Kategorie `Theorie der Hauptidealbereiche' werden sowohl Kriterien für Hauptidealbereiche entwickelt als auch Kriterien, die dagegen sprechen (eine Folgerung aus H ist, durch Kontraposition, zugleich ein Kriterium für nicht-H). Im Bereich der Klassen ist es aber eine wichtige Eigenschaft eines Objektes, ob es die Eigenschaft H hat oder nicht, und das soll durch die Zuordnung zur Klasse H oder zur Klasse nicht H auch ausgedrückt werden.

Dies ist auch deshalb sinnvoll, wenn man nach (Gegen-)Beispielen mit bestimmten Eigenschaften sucht. Häufig sucht man dabei nach einem Beispiel, das zwar die Eigenschaften besitzt, nicht aber die Eigenschaft (man möchte zeigen, dass die ersten Eigenschaften nicht die Eigenschaft implizieren). Auf diese Weise entsteht zugleich ein Kompendium an Gegenbeispielen.


Klassen, die durch Konjunktionen von Eigenschaften bestimmt sind[Bearbeiten]

Aus den zuvor genannten Gründen ist es auch sinnvoll, Konjunktionen von Eigenschaften zur Festlegung von Klassen-Kategorien zuzulassen. Die Klasse, die durch die Konjunktion festgelegt ist (wobei die selbst positiv oder negativ formuliert sein können), ist automatisch eine Unterklassen-Kategorie der durch definierten Klassen-Kategorie.


Zusammenhang zu mathematischen Klassifikationen[Bearbeiten]

In vielen Gebieten der Mathematik interessiert man sich für die Klassifikation der Objekte, wobei man häufig versucht, numerische Invarianten zu finden, die die Objekte unterscheiden. So werden beispielsweise glatte algebraische Kurven durch ihr sogenanntes Geschlecht, einer topologischen Invariante, unterschieden. Solche Invarianten sollen auch hier in der Kategorisierung der Klassen und ihrer Unterklassen Verwendung finden. Es ist aber auch zu beachten, dass die mathematische Klassifikation selbst häufig nur grobe Unterklassen liefern, und die einzelnen Objekte der Unterklasse durch zusätzliche Parameter bestimmt sind (Modulraum). Im Beispiel der algebraischen Kurven legt das Geschlecht zwar die topologische Struktur fest, d.h., die Klassifikation liefert auf topologischer Ebene eine vollständige Einteilung der Objekte; die algebraischen Strukturen bzw. die komplexe Struktur wird aber nicht dadurch festgelegt, sondern es gibt mehrere algebraische Strukturen auf einer Kurven von einem gegebenen Geschlecht. Demnach bilden 'die algebraischen Kurven vom Geschlecht zwei über ´ eine Klassen-Kategorie, und keine Objekt-Kategorie (ein Objekt darin wäre eine konkrete, etwa durch eine konkrete Gleichung gegebene, algebraische Kurve).

Beispiele[Bearbeiten]

Für Beispiele zu Klassen-Kategorien siehe Kategorie:Die Restklassenringe von Z, Kategorie:Euklidische imaginär-quadratische Zahlbereiche, Kategorie:Nicht-faktorielle imaginär-quadratische Zahlbereiche, Kategorie:Faktorielle nicht-euklidische imaginär-quadratische Zahlbereiche.


Objekt-Kategorie[Bearbeiten]

Eine mathematische Objekt-Kategorie gehört zu einem konkreten, detailliert bestimmten, mathematischen Objekt, wie etwa der zwei-dimensionalen Sphäre, dem Polynomring über , oder dem Körper der reellen Zahlen etc. Ein solches Objekt wird häufig beschrieben als eine fixierte Menge mit zusätzlichen fixierten Strukturen, so dass die definierten Begriffe der Theorie darauf zutreffen oder nicht. In mathematischen Texten erscheinen sie häufig als Beispiele oder auch in Aufgaben.

Eine Objekt-Kategorie enthält:

Nach Textarten geordnete Unterkategorien, wie Objekt-Kategoriename/Aufgaben (worin Aufgaben gesammelt werden, in denen das Objekt vorkommt), oder Objekt-Kategoriename/Beispiele, Objekt-Kategoriename/Beschreibungen etc. Diese werden durch [[Kategorie: Objekt-Kategoriename| Aufgaben]] (mit Leerzeichen) in die Objekt-Kategorie eingeordnet, so dass sie dort zwar alphabetisch, aber ohne Anfangsbuchstaben, oben erscheinen. Dies wird auch durch {{Aufgaben-Kategorie unter|Name der Objekt-Kategorie}} erzeugt, was zugleich typisiert.
Seiten, in denen das Objekt (in entscheidender Weise) vorkommt, wo das Objekt oder Teilaspekte davon beschrieben werden, wo Eigenschaften davon bestimmt werden, wo Invarianten dazu ausgerechnet werden. Solche Seiten sollen durch [[Kategorie: Objekt-Kategoriename|Stichwort der Seite]] in die Objektkategorie eingeordnet werden, so dass sie dort alphabetisch unter dem Anfangsbuchstaben des Stichworts erscheinen.

Eine Objekt-Kategorie wird in eine durch (feine, auch negierte und konjugierte) Eigenschaften bestimmte Klassen-Kategorie durch [[Kategorie: Klassen-Kategoriename|Stichwort der Objektkategorie]] alphabetisch mit Anfangsbuchstabe eingeordnet. Dies geschieht auch durch {{Objekt-Kategorie unter|Name der Klassen-Kategorie|Stichwort}}, was zugleich typisiert.

Beispiele: Kategorie: Der Restklassenkörper Z mod 5, Kategorie:Der Ring der Gaußschen Zahlen.


Elemente-Kategorie[Bearbeiten]

Eine mathematische Elemente-Kategorie (wichtig:Plural) beinhaltet Seiten und Unterkategorien, die sich auf (verschiedene) einzelne Elemente eines mathematischen Objektes beziehen. In aller Regel ist ein mathematisches Objekt eine Menge mit zusätzlichen Strukturen, und dies ist das eigentliche mathematische Studienobjekt, wie beispielsweise der Ring der Gaußschen Zahlen oder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Gelegentlich interessiert man sich dann auch für einzelne konkrete Elemente in dieser Menge (also konkrete Gaußsche Zahlen, oder konkrete Punkte auf der Mannigfaltigkeit mit besonderen Eigenschaften).

Eine Elemente-Kategorie enthält:

Element-Kategorien (Singular!), die sich jeweils auf ein einzelnes konkretes Element innerhalb des Objekts beziehen. Diese werden durch [[Kategorie: Elemente-Kategoriename| Elementbezeichnung]] einsortiert. (Eine Element-Kategorie verhält sich zu einer Elemente-Kategorie wie eine Objekt-Kategorie zu einer Klassen-Kategorie, nur auf einer anderen ontologischen Ebene.)
Seiten, in denen einzelne Elemente (in entscheidender Weise) vorkommen, wo die Elemente oder Teilaspekte davon beschrieben werden, wo Eigenschaften davon bestimmt werden, wo Invarianten dazu ausgerechnet werden. Solche Seiten sollen durch [[Kategorie: Elemente-Kategoriename|Stichwort der Seite]] in die Elemente-Kategorie eingeordnet werden, so dass sie dort alphabetisch unter dem Anfangsbuchstaben des Stichworts erscheinen.

Die Elemente-Kategorie zu einer Objekt-Kategorie wird in diese durch [[Kategorie: Objekt-Kategoriename|!]] eingeordnet.


Beispiele: Kategorie: Elemente im Ring der Gaußschen Zahlen.


Element-Kategorie[Bearbeiten]

Eine mathematische Element-Kategorie (wichtig:Singular) beinhaltet Seiten, die sich auf ein einzelnes Element einer Menge beziehen, wobei die Menge ein mathematisches Objekt bildet. In aller Regel ist ein mathematisches Objekt eine Menge mit zusätzlichen Strukturen, und dies ist das eigentliche mathematische Studienobjekt, wie beispielsweise der Ring der Gaußschen Zahlen oder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Gelegentlich interessiert man sich dann aber auch für ein einzelnes konkretes Element in dieser Menge (also eine konkrete Gaußsch Zahl, oder einen konkreten Punkt auf der Mannigfaltigkeit mit besonderen Eigenschaften).

Eine Element-Kategorie enthält:

Seiten, in denen das Element (in entscheidender Weise) vorkommt, wo es oder Teilaspekte davon beschrieben werden, wo Eigenschaften davon bestimmt werden, wo Invarianten dazu ausgerechnet werden. Solche Seiten sollen durch [[Kategorie: Element-Kategoriename|Stichwort der Seite]] in die Element-Kategorie eingeordnet werden, so dass sie dort alphabetisch unter dem Anfangsbuchstaben des Stichworts erscheinen.

Die Element-Kategorie wird in die Elemente-Kategorie (Plural!) der Objekt-Kategorie durch [[Kategorie: Elemente-Kategoriename|Elementbezeichnung]] eingeordnet.


Beispiele: Konkrete Zahlen wie , etc., als Elemente der komplexen bzw. der reellen Zahlen, verdienen eine eigene Element-Kategorie. Einzelne Funktionen oder Folgen sollten aber als Objekte angesehen werden, da sie selbst als Mengen (eine Abbildung ist eine Teilmenge der Produktmenge) definiert werden (eine Punktepaar , etwa ein Maximum, wären dann wiederum ein Element davon).


Text-Kategorien[Bearbeiten]

Die folgenden Kategorien sind Text-Kategorien. Sie orientieren sich an den üblichen Textformen eines mathematischen Textes.

Aufgaben-Kategorie

Aufgaben mit Lösung-Kategorie

Beispiel-Kategorie

Bemerkungs-Kategorie

Beweis-Kategorie

Definitions-Kategorie

Fakten-Kategorie

Fakten mit Beweis-Kategorie

Größere Textzusammenhänge gehören zu

Textabschnitts-Kategorie

Spezialfälle davon sind

Aufgabenblatt-Kategorie,

Klausur-Kategorie.

Die einzelnen Kategorien sollen nach

mathematisch-ontologische Kategorie/Textform

benannt werden. Dabei soll aus der Bezeichnung erkennbar sein, welche Art an Kategorie vorliegt. Zur weiteren Verdeutlichung soll in der Kategorie selbst die Art der Kategorie explizit gemacht werden.


Typisierungsvorlagen für Kategorien[Bearbeiten]

In den Kategorien sollen die folgenden Vorlagen verwendet werden, um klar zu machen, um was für eine Kategorie es sich handelt.

Die Vorlage

{{Theorie-Kategorie}}

erzeugt


Diese Kategorie ist eine mathematische Theorie-Kategorie.


Entsprechend wirken die Vorlagen {{Klassen-Kategorie}}, {{Objekt-Kategorie}}, {{Elemente-Kategorie}}, {{Element-Kategorie}}.

Für Text-Kategorien gibt es Varianten der Vorlagen mit dem Zusatz 'unter' und einem Parameter für die Theorie-Kategorie, die die Text-Kategorie zugleich in die Theorie-Kategorie richtig einsortiert (wie schon oben erwähnt). Ebenso gibt es 'unter'-Vorlagen für die anderen Kategorien, die die Kategorie zugleich typisieren und einordnen.