Projektion weg von einem Punkt/Einführung/Textabschnitt

Definition

Die Abbildung

${\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus \{(1,0,\ldots ,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1},\,(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n}),$

heißt die Projektion weg vom Punkt ${}(1,0,\ldots ,0)$.

Diese Abbildung ist ein wohldefinierter Morphismus, der außerhalb des Zentrums ${}(1,0,\ldots ,0)$ der Projektion definiert ist. Jedem anderen Punkt wird derjenige Punkt des ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n-1}$ zugeordnet, der der Geraden durch den Punkt und dem Zentrum entspricht. Daher ist die Abbildung surjektiv und jede Faser ist eine projektive Gerade ohne den Zentrumspunkt, also eine affine Gerade (es liegt ein sogenanntes Geradenbündel über dem ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n-1}$ vor).

Es handelt sich um die Fortsetzung der Kegelabbildung ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\setminus \{(0,\ldots ,0)\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1}$ auf den projektiven Raum über die Einbettung ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=D_{+}(X_{0})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$. Die entsprechende Abbildung kann man zu jedem Zentrumspunkt definieren, siehe Aufgabe.