Projektive Varietät/Algebraische Funktion/Morphismus/Einführung/Textabschnitt

Mit Fakt können wir auf einer projektiven Varietät wieder definieren, was eine reguläre oder algebraische Funktion sein soll.

Definition

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper,  ${}Y\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$  eine projektive Varietät,  ${}U\subseteq Y$  eine offene Teilmenge und  ${}P\in U$  ein Punkt. Dann heißt eine Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$

algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt ${}P$, wenn es eine offene affine Umgebung

${}P\in V\subseteq U\,$

derart gibt, dass die auf ${}V$ eingeschränkte Funktion ${}f{|}_{V}$ algebraisch im Punkt ${}P$ ist. ${}f$ heißt algebraisch auf ${}U$, wenn ${}f$ in jedem Punkt aus ${}U$ algebraisch ist.

Zu einer offenen Menge ${}U$ bildet die Menge der auf ${}U$ definierten regulären Funktionen wieder eine kommutative ${}K$-Algebra, die wieder mit ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ bezeichnet wird. Von nun an verstehen wir unter einer projektiven Varietät ein projektives Nullstellengebilde zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}$ der regulären Funktionen. Diese Konzepte übertragen sich sofort auf offene Teilmengen, was zum Begriff der quasiprojektiven Varietät führt.

Definition

Eine offene Teilmenge einer projektiven Varietät zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe der algebraischen Funktionen nennt man eine quasiprojektive Varietät.

Insbesondere ist eine projektive Varietät aber auch eine affine Varietät quasiprojektiv. Letzteres folgt daraus, dass man eine affine Varietät  ${}Y\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  zu einer projektiven Varietät  ${}{\tilde {Y}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$  fortsetzen kann, in der ${}Y$ eine offene Teilmenge ist. Auch die Definition von Morphismus lässt sich wortgleich auf die allgemeinere Situation übertragen.

Definition

Es seien ${}X$ und ${}Y$ quasiprojektive Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

${\psi }\colon Y\longrightarrow X$

eine stetige Abbildung. Dann nennt man ${}{\psi }$ einen Morphismus (von quasiprojektiven Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge  ${}U\subseteq X$  und jede algebraische Funktion  ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$  gilt, dass die zusammengesetzte Funktion

$f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$

zu ${}\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{Y})$ gehört.