Projektive Varietät/Dedekindbereich/Rationale Punkte/Fortsetzung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich mit Quotientenkörper ${}Q=Q(R)$ und es sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal von ${}R$ mit Restekörper ${}K=R/{\mathfrak {m}}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es gibt eine natürliche wohldefinierte Abbildung

   ${\mathbb {P} }_{Q}^{n}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n},\,\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\longmapsto \left(ha_{0}\mod {\mathfrak {m}},\,ha_{1}\mod {\mathfrak {m}},\,\ldots ,\,ha_{n}\mod {\mathfrak {m}}\right),$

   wobei ${}h$ so zu wählen ist, dass ${}ha_{i}\in R_{\mathfrak {m}}$ für alle ${}i$ und eines der ${}ha_{i}$ in ${}R_{\mathfrak {m}}$ eine Einheit ist.

2. Für eine über ${}R$ definierte projektive Varietät ${}Y\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{n}$ gibt es eine natürliche Abbildung ${}Y(Q)\rightarrow Y(K)$.

Beweis

1. Es sei ${}\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{Q}^{n}$. Durch Multiplikation mit einem Hauptnenner können wir annehmen, dass alle ${}a_{i}$ zu ${}R$ gehören. Diese Multiplikation ändert nicht den projektiven Punkt. Da ${}R_{\mathfrak {m}}$ nach Fakt ein diskreter Bewertungsring ist, gilt dort mit einer Ortsuniformisierenden ${}\pi \in R_{\mathfrak {m}}\subseteq Q$ die Beziehung

   ${}a_{i}=\pi ^{r_{i}}u_{i}\,$

   mit Einheiten ${}u_{i}\in R_{\mathfrak {m}}$. Es sei ${}r$ das Minimum der ${}r_{i}$. Wir multiplizieren das Tupel mit ${}\pi ^{-r}$ und erhalten eine weitere Realisierung des gegebenen Punktes mit der verlangten Eigenschaft (nicht alle Koeffizienten gehören notwendigerweise zu ${}R$, aber zu ${}R_{\mathfrak {m}}$). Von diesem Tupel kann man koeffizientenweise die Reduktion modulo ${}{\mathfrak {m}}$ nehmen. Da ein Koeffizient eine Einheit ist, ist auch die Reduktion eines Koeffizienten eine Einheit und so handelt es sich in der Tat um das homogene Koordinatentupel eines projektiven Punktes über ${}K$. Wenn man eine weitere Realisierung des Punktes mit den verlangten Eigenschaften betrachtet, so unterscheiden sich diese um einen Faktor, der eine Einheit in ${}R_{\mathfrak {m}}$ und somit in ${}K$ ist. Daher definieren sie den gleichen projektiven Punkt über ${}K$.

2. Die projektive Varietät ${}Y$ ist durch homogene Polynome mit Koeffizienten aus ${}R$ gegeben. Diese Polynome kann man modulo ${}{\mathfrak {m}}$ interpretieren. Aus ${}F\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)=0$ folgt direkt, wenn die ${}a_{i}$ die Bedingungen aus (1) erfüllen und der Überstrich Restklassenbildung bezeichnet,

   ${}{\overline {F\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)}}={\overline {F}}\left({\overline {a_{0}}},\,{\overline {a_{1}}},\,\ldots ,\,{\overline {a_{n}}}\right)=0\,,$

   also erfüllt der Punkt modulo ${}{\mathfrak {m}}$ die entsprechende Gleichung und gehört zu ${}Y(K)$.

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Bemerkung  

Im Fall ${}R=\mathbb {Z}$ kann man die Konstruktion aus Fakt einfach dadurch realisieren, dass man zu einem Punkt ${}\left(a_{0},\,a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {Q} }^{n}$ (bzw. in ${}Y(\mathbb {Q} )$) zu einem teilerfremden Tupel aus ${}\mathbb {Z}$ übergeht und dann die Reduktion modulo einer Primzahl ${}p$ bestimmt. Dabei ist das teilerfremde Tupel unabhängig von ${}p$.

Beispiel

Die Aussage Fakt gilt nicht, wenn ${}R$ ein eindimensionaler noetherscher Integritätsbereich ist. Wenn ${}R\rightarrow S$ die Normalisierung ist und über dem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}\subseteq R$ zwei maximale Ideale ${}{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}\subseteq S$ liegen (siehe Beispiel für ein konkretes Beispiel), mit ${}f\in {\mathfrak {p}}$, ${}f\notin {\mathfrak {q}}$ und ${}f=a/b\in S$ mit ${}a,b\in R$, so kann man den rationalen Punkt ${}\left(a,\,b\right)\in {\mathbb {P} }_{Q(R)}^{1}$ betrachten. Aufgefasst in ${}{\mathbb {P} }_{Q(S)}^{1}$ ist ${}\left(a,\,b\right)=\left(f,\,1\right)$, mit dieser Darstellung kann man direkt die Fortsetzungen in ${}{\mathbb {P} }_{S/{\mathfrak {p}}}^{1}$ und in ${}{\mathbb {P} }_{S/{\mathfrak {q}}}^{1}$. Im ersten Fall ist der Wert der Reduktion von ${}f$ gleich ${}0$, im zweiten Fall ${}\neq 0$, und so kann es keine wohlbestimmte Fortsetzung nach ${}{\mathbb {P} }_{R/{\mathfrak {m}}}^{1}$ geben.

Lemma

Es sei ${}Y$ eine projektive Varietät über ${}\mathbb {Z}$ und es sei ${}P_{1},\ldots ,P_{m}\in Y(\mathbb {Q} )$ eine endliche Punktmenge.

Dann sind für hinreichend große Primzahlen ${}p$ die Punkte ${}{\overline {P}}_{1},\ldots ,{\overline {P}}_{m}\in Y_{{\mathbb {F} }_{p}}$ alle untereinander verschieden.

Beweis

Wir können direkt mit Fakt annehmen, dass ${}Y$ der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {Z} }^{n}$ über ${}\mathbb {Z}$ ist. Ferner können wir jeden Punkt nach Bemerkung durch ein teilerfremdes ganzzahliges Tupel repräsentieren, in diesem Fall kann man alle Reduktionen direkt ausrechnen. Die Gleichheit von Punkten ${}P_{i}=\left(a_{i0},\,a_{i1},\,\ldots ,\,a_{in}\right)$ und ${}P_{j}=\left(a_{j0},\,a_{j1},\,\ldots ,\,a_{jn}\right)$ kann man über die Minoren testen, siehe Aufgabe. Zu jedem Punkteindexpaar ${}1\leq i<j\leq m$ ist für zumindest ein Koeffizientenindexpaar ${}0\leq r<s\leq n$ der Ausdruck ${}a_{ir}a_{js}-a_{jr}a_{is}\neq 0$. Wenn man ${}p$ so wählt, dass ${}p$ kein Teiler von diesen Minoren ${}\neq 0$ ist, so ergibt sich, dass modulo ${}p$ die Punkte verschieden bleiben.

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