Projektive ebene Kurve/X^4+YZ^3+Z^4/C/(0,1,0)/Multiplizität/Tangente/Aufgabe/Lösung

Der Punkt liegt in der offenen Umgebung

${}{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{2}\cong D_{+}(Y)\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}\,,$

so dass wir darauf die Multiplizität bestimmen können. Wir setzen also ${}Y=1$ und erhalten die inhomogene Gleichung ${}X^{4}+Z^{3}+Z^{4}=0$. Die homogene Zerlegung ist

$Z^{3}+{\left(X^{4}+Z^{4}\right)}.$

Somit ist die Multiplizität gleich ${}3$ und ${}Z=0$ ist die einzige Gleichung für eine (affine)

Tangente. Die einzige projektive Tangente ist der projektive Abschluss davon, also ${}V_{+}(Z)$.

Zur gelösten Aufgabe