Projektiver Raum/Reell und komplex/Einführung/Textabschnitt

Wir wollen uns ein Bild über die projektiven Räume für ${\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ und ${\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ machen. Die (reell) ${}n$-dimensionale Sphäre ist  ${}S^{n}={\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}\mid \Vert {x}\Vert =1\right\}}$.  Dabei ist  ${}\Vert {x}\Vert ={\sqrt {x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}$  die euklidische Norm.

Satz

Man kann den reell-projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{n}$ durch die ${}n$-dimensionale Sphäre  ${}S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$  modulo der Äquivalenzrelation repräsentieren, die antipodale Punkte miteinander identifiziert.

Den komplex-projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n}$ kann man durch die ${}(2n+1)$-dimensionale Sphäre  ${}S^{2n+1}\subset \mathbb {R} ^{2n+2}\cong {\mathbb {C} }^{n+1}$  modulo der Äquivalenzrelation repräsentieren, die zwei Punkte  ${}z,w\in S^{2n+1}$  miteinander identifiziert, wenn man  ${}z=\lambda w$  mit einem  ${}\lambda \in S^{1}\subseteq {\mathbb {C} }$  schreiben kann.

Beweis

Wir behandeln die beiden Fälle parallel. Jeder Punkt der Sphäre ${}S$ definiert eine (reelle oder komplexe) Gerade durch den Nullpunkt im umliegenden Raum $\mathbb {R} ^{n+1}$ oder ${\mathbb {C} }^{n+1}$ und damit einen Punkt im projektiven Raum. Zwei Punkte  ${}z,w\in S$  definieren genau dann die gleiche Gerade, wenn es einen Skalar  ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$  mit  ${}z=\lambda w$  gibt. Wegen der Multiplikativität der Norm ist dann auch  ${}\Vert {z}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {w}\Vert$,  woraus sich wegen  ${}z,w\in S$  sofort  ${}\vert {\lambda }\vert =1$  ergibt. Dies bedeutet im reellen Fall  ${}\lambda =\pm 1$  und im komplexen Fall, dass  ${}\lambda \in S^{1}\subset {\mathbb {C} }$  ist, also zum Einheitskreis gehört.

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Wir haben insgesamt Abbildungen

$S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{n}$

(im reellen Fall) bzw.

$S^{2n+1}\subset \mathbb {R} ^{2n+2}\setminus \{0\}\cong {\mathbb {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{n}$

(im komplexen Fall). Nach dem vorstehenden Satz sind die Gesamtabbildungen jeweils surjektiv. Man versieht die reell und die komplex-projektiven Räume mit der Quotiententopologie zur metrischen Topologie des reellen Vektorraumes unter dieser Abbildung, d.h. man erklärt eine Teilmenge  ${}U\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{n}$  für offen, wenn das Urbild in ${}{\mathbb {K} }^{n+1}\setminus \{0\}$ offen ist. (dies ist äquivalent dazu, dass das Urbild auf der jeweiligen Sphäre offen ist). Mit dieser (metrischen oder natürlichen) Topologie auf dem projektiven Raum sind diese Abbildungen stetig. Dies hat folgende Konsequenz.

Lemma

Für den reell-projektiven und den komplex-projektiven Raum sind

die Teilmengen ${}D_{+}(X_{i})$ offen in der natürlichen Topologie und homöomorph zu ${}\mathbb {R} ^{n}$ bzw. ${}{\mathbb {C} }^{n}$.

Insbesondere sind die reell- und komplex-projektiven Räume topologische Mannigfaltigkeiten.

Beweis

Das Urbild von ${}D_{+}(X_{i})$ unter der kanonischen Abbildung ${}{{\mathbb {A} }_{\mathbb {K} }^{n+1}}\setminus \{0\}\rightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{n}$ ist ${}D(X_{i})$, also das Komplement eines ${}n$-dimensionalen Untervektorraumes und damit offen in der natürlichen Topologie. Wir betrachten die stetigen Abbildungen

${\mathbb {K} }^{n}\cong V(X_{i}-1)\subset D(X_{i})\longrightarrow D_{+}(X_{i}).$

Die Gesamtabbildung ist eine Bijektion und ${}D_{+}(X_{i})$ trägt die Quotiententopologie unter der zweiten Abbildung. Wir müssen zeigen, dass die Bijektion eine Homöomorphie ist. Dazu genügt es, die Offenheit der Abbildung zu zeigen. Es sei also  ${}U\subseteq V(X_{i}-1)\cong {\mathbb {K} }^{n}$  offen und ${}U'$ das zugehörige Bild in ${}D_{+}(X_{i})$. Die Offenheit von ${}U'$ ist nach Definition der Quotiententopologie äquivalent dazu, dass das Urbild  ${}U^{\prime \prime }\subseteq D(X_{i})$  von ${}U'$ offen ist. Diese Menge ${}U^{\prime \prime }$ besteht aus allen Punkten in ${}D(X_{i})$, die auf einer Geraden durch den Nullpunkt und durch einen Punkt aus ${}U$ liegen. Es sei ${}Q$ ein solcher Punkt, und $Q=\lambda P$ mit $P\in U$ und  ${}\lambda \in {\mathbb {K} }^{\times }$.  Es sei ${}B$ eine offene Ballumgebung um ${}P$ in ${}V(X_{i}-1)$. Dann ist auch der dadurch definierte Kegel in ${}D(X_{i})$ offen und liegt ganz in ${}U^{\prime \prime }$.

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Die projektive Gerade über ${}{\mathbb {C} }$ ist eine Sphäre.

Korollar

Die reell-projektiven und die komplex-projektiven Räume sind kompakt und hausdorffsch in der natürlichen Topologie.

Beweis

Es gibt eine surjektive stetige Abbildung von einer Sphäre auf einen jeden projektiven Raum. Die Sphäre ist eine abgeschlossene und beschränkte Teilmenge eines reellen endlichdimensionalen Vektorraumes und daher nach dem Satz von Heine-Borel kompakt. Da das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung nach Fakt wieder kompakt ist, folgt, dass die projektiven Räume kompakt sind.

Für die Hausdorff-Eigenschaft seien  ${}P,Q\in {\mathbb {P} }_{\mathbb {K} }^{n}$  zwei verschiedene Punkte. Man kann annehmen, dass sie beide auf einem der affinen überdeckenden Räume ${}D_{+}(X_{i})$ liegen. Damit gibt es nach Fakt trennende Umgebungen.

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