Projektives Schema/Garbenkohomologie/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A=R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{d}]$ der Polynomring über ${}R$ in ${}d+1\geq 2$ Variablen und

${}{\mathbb {P} }_{R}^{d}=\operatorname {Proj} {\left(A\right)}\,$

der zugehörige projektive Raum.

Dann ist die Kohomologie der getwisteten Strukturgarben ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(n)$ gleich

${}{\check {H}}^{p}({\mathbb {P} }_{R}^{d},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(n))={\begin{cases}A_{n}{\text{ für }}p=0,\\0{\text{ für }}1\leq p\leq d-1,\\\bigoplus _{\alpha \in \mathbb {Z} _{-}^{d+1},\,\sum _{j=1}^{d+1}\alpha _{j}=n}R\cdot X^{\alpha }{\text{ für }}p=d\,.\end{cases}}\,$

Beweis

Dies folgt aus Fakt.

$\Box$

Speziell ist für die kanonische Garbe ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(-d-1)$ (vergleiche Fakt)

${}H^{d}{\left({\mathbb {P} }_{R}^{d},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(-d-1)\right)}=RX_{0}^{-1}X_{1}^{-1}\cdots X_{n}^{-1}\cong R\,$

und

${}H^{d}{\left({\mathbb {P} }_{R}^{d},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}(n)\right)}=0\,$

für ${}n>-d-1$.

Satz

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}$ der projektive Raum über einem noetherschen Ring ${}R$ und sei ${}{\mathcal {F}}$ eine kohärente Garbe auf ${}{\mathbb {P} }_{R}^{n}$.

Dann sind die ${}H^{i}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}})$ endlich erzeugte ${}R$-Moduln.

Beweis

Für die getwisteten Strukturgarben ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell )$ ergibt sich die Aussage aus Fakt. Damit gilt sie auch für endliche direkte Summen von solchen Garben. Den allgemeinen Fall beweisen wir durch absteigende Induktion über den kohomologischen Index ${}i$. Wenn dieser oberhalb von ${}n$ liegt, so gibt es nach Fakt nur triviale Kohomologie (wenn ${}R$ endliche Dimension besitzt, so kann man auch mit Fakt argumentieren), was den Induktionsanfang sichert. Es sei also die Aussage für ein ${}i$ und jede kohärente Garbe bewiesen. Es sei ${}{\mathcal {F}}$ eine kohärente Garbe. Dann gibt es nach Fakt eine endliche direkte Summe ${}\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})$ und einen surjektiven ${}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{d}}$-Modulhomomorphismus

$\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})\longrightarrow {\mathcal {F}}.$

Es sei ${}{\mathcal {G}}$ der Kern dieser Abbildung, der nach Aufgabe

ebenfalls kohärent ist. Die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz zur Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {G}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {F}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

ist

$\ldots \longrightarrow H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j})){\stackrel {\epsilon }{\longrightarrow }}H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}}){\stackrel {\delta }{\longrightarrow }}H^{i}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {G}})\longrightarrow \ldots .$

Dazu gehört die kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {bild} \epsilon =\operatorname {kern} \delta \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}})\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,\operatorname {bild} \delta \,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Nach der Vorüberlegung bzw. der Induktionsvoraussetzung sind ${}H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},\bigoplus _{j\in J}{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}(\ell _{j}))$ und ${}H^{i}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {G}})$ endlich erzeugte ${}R$-Moduln und daher sind auch ${}\operatorname {bild} \epsilon$ und nach Fakt auch ${}\operatorname {kern} \delta$ endlich erzeugt. Nach Fakt ist auch ${}H^{i-1}({\mathbb {P} }_{R}^{n},{\mathcal {F}})$ endlich erzeugt.

$\Box$

Satz

Es sei ${}X$ ein projektives Schema über einem noetherschen Ring ${}R$ mit einer abgeschlossenen Einbettung ${}X\subseteq {\mathbb {P} }_{R}^{n}$ in einen projektiven Raum. Es sei ${}{\mathcal {G}}$ eine quasikohärente Garbe auf ${}X$ und ${}j_{*}{\mathcal {G}}$ die vorgeschobene Garbe.

Dann ist

${}H^{i}(X,{\mathcal {G}})=H^{i}({\mathbb {P} }_{R}^{n},j_{*}{\mathcal {G}})\,$

für alle ${}i$.

Beweis

Die vorgeschobene Garbe ist wieder quasikohärent. Nach Fakt kann man beide Seiten mit Čech-Kohomologie bezüglich der affinen Standardüberdeckung ${}D_{+}(X_{s})$ des projektiven Raumes bzw. der Überdeckung ${}X\cap D_{+}(X_{s})$ von ${}X$ berechnen. Dabei stimmt der gesamte Čech-Komplex überein und insbesondere die Čech-Kohomologie.

$\Box$

Satz

Es sei ${}X$ ein projektives Schema über einem noetherschen Ring ${}R$ und sei ${}{\mathcal {G}}$ eine kohärente Garbe auf ${}X$.

Dann sind die ${}H^{i}(X,{\mathcal {G}})$ endlich erzeugte ${}R$-Moduln.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.

$\Box$

Man beachte, dass es um ${}R$-Moduln geht, nicht um Moduln über dem Koordinatening von ${}X$. Im wichtigsten Fall, wenn ${}R=K$ ein Körper ist, handelt es sich also bei den Kohomologiegruppen um endlichdimensionale Vektorräume über ${}K$. Deren Dimensionen sind natürliche Zahlen, die den kohärente Garben auf ${}X$ zugeordnet werden und für diese in gewisser Weise charakteristisch sind. Wenn man die Strukturgarbe oder die Tangentialgarbe auf ${}X$ nimmt, so erhält man Zahlen (Invarianten), die für ${}X$ selbst charakteristisch sind. In diesem Zusammenhang setzt man abkürzend

${}h^{i}({\mathcal {F}})=\dim _{K}{\left(H^{i}(X,{\mathcal {F}})\right)}\,.$

Beispielsweise ist für eine glatte projektive Kurve ${}X$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ die Vektorraumdimension von ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ das sogenannte Geschlecht der Kurve. Dies ist die wichtigste Invariante, wobei im komplexen Fall ein unmittelbarer Zusammenhang mit der topologischen Gestalt der Kurve (als komplex eindimensionale, reell zweidimensionale Mannigfaltigkeit) besteht.