Pseudokonvexe Subadditivität

Einleitung

Für Normen und $p$-Normen gilt die Dreiecksungleichung. Im Kontext der topologischen Vektorräumen liefert die Dreiecksungleichung auch die Stetigkeit der Addition.

Lemma - Subadditivität p-Konvexität

Sei ${\textstyle \mathbb {K} }$ ein Körper mit (${\textstyle \mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C} }$) und ${\textstyle 0<p<1}$, dann gilt für alle ${\textstyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} }$

$$|\alpha +\beta |^{p}\leq |\alpha |^{p}+|\beta |^{p}.$$

Beweis - Subadditivität p-Konvexität

Der Beweis für das obige Lemma findet man pseudokonvexe Subadditivität.

Bemerkung - Dreiecksungleichungen von p-Halbnormen

Die pseudokonvexe Subadditivität ist eine hilfreiche Aussage, um auf komplexen zusammengesetzten Räumen (z.B. Folgenräume) die Gültigkeit der Dreiecksungleichung von $p$-Normen bzw. $p$-Halbnormen nachzuweisen.

Siehe auch

• Lemma zur pseudokonvexen Subadditivität
• Normen
• $p$-Normen und $p$-Halbnormen
• topologischer Vektorraum