Quadratische Gleichungen/Durchschnitt/1/Aufgabe/Lösung

Es geht um die Lösungen des Gleichungssystems

x^{2} + x y + 3 y^{2} = 3

und

2 x^{2} - x y + y^{2} = 4 .

Die Summe der beiden Gleichungen ist

3 x^{2} + 4 y^{2} = 7

und $2 I - I I$ ist

3 x y + 5 y^{2} = 2 .

Mit der letzten Gleichung schreiben wir

x = \frac{2 - 5 y^{2}}{3 y},

wobei es bei $y = 0$ definitiv keine Lösung gibt. Wir setzen diesen Ausdruck für $x$ in die obige Gleichung ein und erhalten

3 {(\frac{2 - 5 y^{2}}{3 y})}^{2} + 4 y^{2} = 7 .

Multiplikation mit $3 y^{2}$ führt auf

\begin{matrix} 0 & = {(2 - 5 y^{2})}^{2} + 12 y^{4} - 21 y^{2} \\ = 4 - 20 y^{2} + 25 y^{4} + 12 y^{4} - 21 y^{2} \\ = 37 y^{4} - 41 y^{2} + 4. \end{matrix}

Dies ist eine biquadratische Gleichung.