Quadratische Zahlbereiche/Hauptdivisor/D ist -10/q ist 2/3 - 1/5 sqrt(-10)/Aufgabe/Lösung

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Sei . Wir bringen auf einen Hauptnenner, also

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Der Nenner ist . Die Zerlegung für diese Primzahlen ist:

Modulo .

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Das Polynom hat keine Nullstelle über , also ist es irreduzibel und es liegt ein Körper vor. Daher ist ein Primideal in .

Modulo .

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Das Polynom ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal vor. Diesem Primideal entspricht in das Primideal . Es gilt die Idealzerlegung in .

Für den Zähler betrachten wir die Norm, also

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Wir berechnen wieder die Idealzerlegung der beteiligten Primfaktoren.

Modulo .

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Das Polynom ist nicht irreduzibel, es liegt ein nicht reduzierter Ring mit einzigem Primideal vor. Diesem Primideal entspricht in das Primideal . Es gilt die Idealzerlegung in .

Modulo .

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Das Polynom ist nicht irreduzibel, es hat die beiden Nullstellen und , und die Zerlegung . Damit gibt es die beiden Primideale und , die den beiden konjugierten Primidealen und entsprechen.

Damit ist

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Die doppelt auftretenden Primideale verteilen sich (aus Symmetriegründen) auf die beiden Faktoren. In kann man bilden , so dass zu gehört, und man erhält

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Damit ist der Hauptdivisor gleich

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