Quadratischer Zahlbereich/5/Faktorialität mit Normabschätzung/Produkt/Aufgabe/Lösung

1. Die Diskriminante des Zahlbereichs ist ${}5$, daher müssen nur die Primzahlen ${}\leq {\frac {\sqrt {5}}{2}}$ überprüft werden, also nur die Primzahl ${}2$. Es ist

   ${}A_{5}=\mathbb {Z} [U]/(U^{2}-U-1)\,.$

   Modulo ${}2$ ist dies

   ${}\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}-U-1)=\mathbb {Z} /(2)[U]/(U^{2}+U+1)\,$

   und dies ist ein Körper mit ${}4$ Elementen, da dieses quadratisches Polynom nullstellenfrei und damit irreduzibel ist. Also ist ${}2$ prim in ${}A_{5}$ und dieser Zahlbereich ist faktoriell.

2. Da die Zahl ${}2$ im Zahlbereich prim ist, muss sie einen der Faktoren

   ${}{\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{\left(1-{\sqrt {5}}\right)}=-4\,$

   teilen. In der Tat sind ${}{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ und ${}{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$ Einheiten in diesem Zahlbereich, da die Norm davon ${}-1$ ist, weil die Norm von ${}1\pm {\sqrt {5}}$ gleich ${}-4$ ist. Somit sind ${}1+{\sqrt {5}}$ und ${}1-{\sqrt {5}}$ beide assoziiert zur ${}2$ (und auch untereinander) und es liegt keine wesentlich verschiedene Primfaktorzerlegung vor.

Zur gelösten Aufgabe