Quadratischer Zahlbereich/D ist -19/Faktoriell/Nicht euklidisch/Beispiel

Es sei  ${}R=A_{-19}$  der quadratische Zahlbereich zu  ${}D=-19$,  also  ${}A_{-19}=\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}]$  bzw.  ${}A_{-19}\cong \mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}-Y+5)$.  Wir wissen aufgrund von Fakt, dass ${}R$ nicht euklidisch ist. Dennoch ist ${}R$ faktoriell und nach Fakt ein Hauptidealbereich und die Klassengruppe ist trivial. Hierfür benutzen wir Fakt, d.h. wir haben für alle Primzahlen  ${}p\leq {\frac {2{\sqrt {|\triangle |}}}{\pi }}$  zu zeigen, dass sie eine Primfaktorzerlegung in ${}R$ besitzen. Diese Abschätzung wird nur von  ${}p=2$  erfüllt. Für  ${}p=2$  ist der Restklassenring

${}R/(2)\cong \mathbb {Z} /(2)[Y]/(Y^{2}+Y+1)\,$

ein Körper, sodass ${}2$ träge in ${}R$ ist und insbesondere eine Primfaktorzerlegung besitzt.