Quadratischer Zahlbereich/Normeuklidisch/Einführung/Textabschnitt

Wir betrachten diejenigen imaginär-quadratischen Zahlbereiche (also $D<0$), für die die Norm eine euklidische Funktion ist. Wir werden in Bemerkung Beispiele sehen, wo der Ganzheitsring zwar faktoriell, aber nicht euklidisch ist.

Definition

Es sei  $D\ne 0,1$  quadratfrei und $A_D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann heißt $A_D$ normeuklidisch, wenn die Normfunktion auf $A_D$ eine euklidische Funktion ist.

Da eine euklidische Funktion nur positive Werte annimmt, kann die Norm allenfalls im imaginär-quadratischen Fall euklidisch sein, da im reell-quadratischen Fall die Norm auch negative Werte annimmt. Die Euklidizität der Norm bedeutet, dass es zu $a,b\in R$, $b\ne 0$, Elemente $z$ und $r$ mit

$a=zb+r$

und  $r=0$  oder

$N(r)<N(b).$

Dies kann man auch so sehen, dass es für jedes rationale Element  $\frac{a}{b}\in Q(R)$  eine ganzzahlige Approximation  $z\in R$  mit

$N(\frac{a}{b}-z)<1$

gibt. Mit Hilfe dieser geometrischen Interpretation charakterisiert der nächste Satz explizit diejenigen imaginär-quadratischen Zahlbereiche, für die $A_D$ normeuklidisch ist.

Satz

Es sei  $D<0$  quadratfrei und $A_D$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. $A_D$ ist euklidisch.
2. $A_D$ ist normeuklidisch.
3. Es ist  $D=-1,-2,-3,-7,-11$. 

Beweis

(1) $\Rightarrow$ (3). Es sei $A_D$ euklidisch mit euklidischer Funktion $\delta$. Es sei $z\in A_D$, $z\ne 0$, keine Einheit, so gewählt, dass $\delta (z)$ unter allen Nichteinheiten den minimalen Wert annimmt. Für jedes $w\in A_D$ ist dann

$w=qz+r\text{ mit }r=0\text{ oder }\delta (r)<\delta (z).$

Wegen der Wahl von $z$ bedeutet dies  $r=0$  oder $r$ ist eine Einheit. Wir betrachten die Restklassenabbildung

$\phi :A_D⟶A_D/(z).$

Dabei ist  $\phi (w)=\phi (r)$.  Ab  $|D|\ge 4$  gibt es nur die beiden Einheiten $1$ und $-1$, sodass das Bild von $\phi$ überhaupt nur aus $0,1,-1$ besteht. Also ist nach Fakt

$N(z)=|A_D/(z)|\le 3$

Bei  $D=2,3mod4$  hat nach Fakt jedes Element aus $A_D$ die Form  $z=a+b\sqrt{D}$  ($a,b\in \mathbb{Z}$) mit Norm  $N(z)=a^2+|D|b^2$.  Damit ist (bei $|D|\ge 4$)  $N(z)\le 3$  nur bei $b=0$ und $|a|=1$ möglich, doch dann liegt eine Einheit vor, im Widerspruch zur Wahl von $z$. In diesem Fall verbleiben also nur die Möglichkeiten  $D=-1,-2$. 

Bei  $D=1mod4$  hat nach Fakt jedes Element aus $A_D$ die Form  $z=a+b\frac{1+\sqrt{D}}{2}$  ($a,b\in \mathbb{Z}$) mit Norm  $N(z)={(a+\frac{b}{2})}^2+\frac{|D|b^2}{4}$.  Damit ist bei  $|D|\ge 13$  die Bedingung  $N(z)\le 3$  wieder nur bei  $b=0$  und  $|a|=1$  möglich, sodass erneut eine Einheit vorliegt. Es verbleiben die Möglichkeiten  $D=-3,-7,-11$. 

(3) $\iff$ (2). Der Ganzheitsring $A_D$ ist genau dann normeuklidisch, wenn es zu jedem  $f\in \mathbb{Q}[\sqrt{D}]$  ein  $z\in A_D$  mit  $|N(f-z)|<1$  gibt. Dies bedeutet anschaulich, dass es zu jedem Punkt von  $\mathbb{Q}[\sqrt{D}]\subseteq ℂ$  stets Gitterpunkte aus $A_D$ gibt mit einem Abstand kleiner als eins. Im Fall  $D=2,3mod4$  ist  $A_D=\mathbb{Z}[\sqrt{D}]$  und es liegt ein rechteckiges Gitter vor, wobei der maximale Abstand im Mittelpunkt eines Gitterrechteckes angenommen wird. Der Abstand zu jedem Eckpunkt ist dort $\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{|D|}{4}}$, und dies ist nur für  $D=-1,-2$  kleiner als eins.

Im Fall  $D=1mod4$  wird die komplexe Ebene überdeckt von kongruenten gleichschenkligen Dreiecken, mit einer Grundseite der Länge eins und Schenkeln der Länge $\frac{1}{2}\sqrt{1+|D|}$, deren Eckpunkte jeweils Elemente aus $A_D$ sind. Der Punkt innerhalb eines solchen Dreiecks mit maximalem Abstand zu den Eckpunkten ist der Mittelpunkt des Umkreises, also der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Wir berechnen ihn für das Dreieck mit den Eckpunkten $(0,0),(1,0),(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{|D|}}{2})$. Die Mittelsenkrechte zur Grundseite ist durch  $x=\frac{1}{2}$  gegeben, und die Mittelsenkrechte zum linken Schenkel wird durch $(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{|D|}}{4})+t(\sqrt{|D|},-1)$ beschrieben. Gleichsetzen ergibt

$\frac{1}{4}+t\sqrt{|D|}=\frac{1}{2}\text{ bzw. }t\sqrt{|D|}=\frac{1}{4}\text{ und }t=\frac{1}{4\sqrt{|D|}}.$

Damit ist die zweite Koordinate gleich $\frac{\sqrt{|D|}}{4}-\frac{1}{4\sqrt{|D|}}$ und der gemeinsame Abstand zu den drei Eckpunkten ist die Quadratwurzel aus

$\frac{1}{4}+{(\frac{\sqrt{|D|}}{4}-\frac{1}{4\sqrt{|D|}})}^2=\frac{1}{4}+\frac{|D|}{16}+\frac{1}{16|D|}-\frac{1}{8}=\frac{1}{16}(2+|D|+\frac{1}{|D|}).$

Dies (und ebenso die Quadratwurzel) ist kleiner als $1$ genau dann, wenn  $|D|+\frac{1}{|D|}<14$  ist, was genau bei  $D>-13$  der Fall ist und den Möglichkeiten  $D=-3,-7,-11$  entspricht.

(2) $\Rightarrow$ (1) ist trivial.

$◻$

Bemerkung  

Für ein vorgegebenes quadratfreies $D$ kann man grundsätzlich effektiv entscheiden, ob der quadratische Zahlbereich $A_D$ faktoriell ist oder nicht. Für  $D<0$  ist dies genau für

$D=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163$

der Fall. Es war bereits von Gauß vermutet worden, dass dies alle sind, es wurde aber erst 1967 von Heegner und Stark bewiesen. Man weiß auch, für welche von diesen $D$ der Ganzheitsbereich euklidisch ist, nämlich nach Fakt für  $D=-1,-2,-3,-7,-11$,  aber nicht für die anderen vier Werte.

Für  $D>0$  wird vermutet, dass für unendlich viele Werte der Ganzheitsbereich faktoriell ist. Für  $D<100$  liegt ein faktorieller Bereich für die Werte

$2,3,5,6,7,11,13,14,17,19,21,23,29,31,33,37,38,41,43,46,47,$

$53,57,59,61,62,67,69,71,73,77,83,86,89,93,94,97$

vor. Dagegen weiß man (Chatland und Davenport 1950), für welche positiven $D$ der Ganzheitsbereich $A_D$ euklidisch ist, nämlich für  $D=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73$.