Quadratischer Zahlbereich/Primideal Ordnung 3/Norm/Kein Haupideal/Aufgabe/Lösung

Nach Voraussetzung gibt es ein  ${}f\in R$,   ${}f\neq 0$,  mit

${}{\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}=(f)\,.$

Insbesondere stimmt die Norm von ${}{\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}$ mit dem Betrag der Norm von ${}f$ überein. Wir behaupten, dass ${}{\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {q}}}$ kein Hauptideal ist. Wäre dies nämlich der Fall, so wäre auch

${}{\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {q}}}{\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}^{2}{\mathfrak {q}}{\overline {\mathfrak {q}}}\,$

ein Hauptideal. Da ${}{\mathfrak {q}}{\overline {\mathfrak {q}}}$ stets ein Hauptideal ist, wäre auch ${}{\mathfrak {p}}^{2}$ ein Hauptideal im Widerspruch zur Voraussetzung über die Ordnung von ${}{\mathfrak {p}}$. Die Norm von ${}{\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {q}}}$ stimmt aber mit der Norm von ${}{\mathfrak {p}}{\mathfrak {q}}$ und damit mit dem Betrag der Norm von ${}f$ überein.

Zur gelösten Aufgabe