Quadratischer Zahlbereich/Teiler der Diskriminante/Verzweigt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei zunächst  ${}D=2,3\mod 4$,  sodass  ${}\triangle =4D$  nach Fakt ist und als Primteiler ${}p$ der Diskriminante ${}2$ und die Teiler von ${}D$ in Frage kommen. Es ist

${}A_{D}/(p)=(\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)/(p))=(\mathbb {Z} /(p))[X]/{\left(X^{2}-D\right)}\,.$

Bei ${}p{|}D$ steht hier ${}(\mathbb {Z} /(p))[X]/(X^{2})$ und dieser Ring hat das einzige Primideal ${}(X)$ mit  ${}X^{2}=0$.  Diesem Primideal entspricht in ${}A_{D}$ das Primideal  ${}{\mathfrak {p}}=(p,X)$.  Es ist  ${}{\mathfrak {p}}^{2}=(p)$.  Einerseits gilt für  ${}f\in {\mathfrak {p}}^{2}$  im Faserring modulo ${}p$ die Beziehung  ${}f\in (X^{2})=0$,  woraus  ${}f\in (p)$  folgt. Andererseits ist  ${}X^{2}=D=up$  (in ${}A_{D}$) mit  ${}u\in \mathbb {Z}$.  Da ${}D$ quadratfrei ist, ist ${}u$ teilerfremd zu ${}p$ und daher kann man mit  ${}1=ru+sp$  schreiben

${}p=p(ru+sp)=rup+sp^{2}=rX^{2}+sp^{2}\in {\mathfrak {p}}^{2}\,.$

Bei  ${}p=2$  gilt in ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$ die Beziehung  ${}(X-D)^{2}=X^{2}-D^{2}=X^{2}-D$,  sodass eine analoge Situation vorliegt.

Es sei jetzt  ${}D=1\mod 4$  und sei ${}p$ ein Primteiler von  ${}\triangle =D$.  Es ist

${}A_{D}/(p)={\left(\mathbb {Z} [\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\right)}/(p)=(\mathbb {Z} /(p))[\omega ]/{\left(\omega ^{2}-\omega -{\frac {D-1}{4}}\right)}\,.$

Da ${}D$ ungerade ist, ist ${}2$ eine Einheit in ${}\mathbb {Z} /(p)$, sodass man die Gleichung modulo ${}p$ als

${}{\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {1}{4}}-{\frac {D-1}{4}}={\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {D}{4}}={\left(\omega -{\frac {1}{2}}\right)}^{2}\,$

schreiben kann, sodass wieder eine analoge Situation vorliegt.

Zur bewiesenen Aussage