Quadratischer Zahlbereich/Verzweigung/Ordnung/Ableitung/Beispiel

Es sei ${}D$ eine quadratfreie Zahl ${}\neq 0,1$ mit

${}D=2,3\mod 4\,$

und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich, der nach Fakt die Restklassenbeschreibung ${}A_{D}=\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-D)$ besitzt. Die Ableitung von

${}F=X^{2}-D\,$

ist ${}2X$ und somit ist, um das Verzweigungsverhalten zu verstehen, nach Fakt das Ideal ${}(2X,X^{2}-D)$ zu betrachten. Wenn ${}p\neq 2$ und kein Teiler von ${}D$ ist, so ist dies über ${}\mathbb {Z} /(p)$ das Einheitsideal und es liegt keine Verzweigung vor. Wenn ${}p$ ein Teiler von ${}D$ oder ${}p=2$ ist, so liegt Verzweigung mit Verzweigungsordnung ${}2$ vor.

Bei ${}D=1\mod 4$ ist nach Fakt ${}A_{D}=\mathbb {Z} [Y]/(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}})$. Die Ableitung ist ${}2Y-1$. Oberhalb von ${}p=2$ findet keine Verzweigung statt. Es sei also ${}p\neq 2$. Modulo ${}p$ ist

${}{\begin{aligned}(Y^{2}-Y-{\frac {D-1}{4}},2Y-1)&=(4Y^{2}-4Y-D+1,2Y-1)\\&=1-2-D+1\\&=D.\end{aligned}}$

Deshalb liegt Verzweigung genau in den Primteilern von ${}D$ vor.