Quadratisches Polynom/R/2 Variablen/Variablenwechsel/Bezug/1/Beispiel

Wir betrachten das quadratische Polynom

${}F=3X^{2}-4XY+5Y^{2}+6X+2Y-7\,$

und möchten es gemäß Fakt auf Standardform bringen. In Beispiel haben wir den rein-quadratischen Anteil ${}3X^{2}-4XY+5Y^{2}$ mit Hilfe der symmetrischen Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&-2\\-2&5\end{pmatrix}}\,$

untersucht und die Eigenwerte als

$x_{1}={\sqrt {5}}+4{\text{ und }}x_{2}=-{\sqrt {5}}+4$

bestimmt. Um ${}F$ selbst auf Standardform zu bringen, brauchen wir die Eigenvektoren, und müssen mit ihnen den Variablenwechsel explizit durchführen. Die Eigenvektoren sind

${\begin{pmatrix}-2\\{\sqrt {5}}+1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\begin{pmatrix}2\\{\sqrt {5}}-1\end{pmatrix}}$

und somit bilden

$u={\frac {1}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{\begin{pmatrix}-2\\{\sqrt {5}}+1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,v={\frac {1}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}{\begin{pmatrix}2\\{\sqrt {5}}-1\end{pmatrix}}$

eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren. Es besteht die Beziehung

${}{\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-2}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}&{\frac {{\sqrt {5}}+1}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}\\{\frac {2}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}&{\frac {{\sqrt {5}}-1}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e_{1}\\e_{2}\end{pmatrix}}\,$

im Sinne von Bemerkung, und mit den neuen Variablen ${}U,V$ gilt gemäß Fakt die Beziehung

${}{\begin{pmatrix}X\\Y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {-2}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}&{\frac {2}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}\\{\frac {{\sqrt {5}}+1}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}&{\frac {{\sqrt {5}}-1}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}U\\V\end{pmatrix}}\,.$

Daher ist (für den rein-quadratischen Anteil muss man nichts ausrechnen)

${}{\begin{aligned}F&=3X^{2}-4XY+5Y^{2}+6X+2Y-7\\\\&={\left({\sqrt {5}}+4\right)}U^{2}+{\left(-{\sqrt {5}}+4\right)}V^{2}+6{\left({\frac {-2}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}U+{\frac {2}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}V\right)}+2{\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}U+{\frac {{\sqrt {5}}-1}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}\right)}V-7\\&={\left({\sqrt {5}}+4\right)}U^{2}+{\left(-{\sqrt {5}}+4\right)}V^{2}+{\frac {-10+2{\sqrt {5}}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}U+{\frac {10+2{\sqrt {5}}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}V-7.\,\end{aligned}}$

Quadratisches Ergänzen mit

${}U=W+{\frac {5-{\sqrt {5}}}{{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}\,}}{\left({\sqrt {5}}+4\right)}}}\,$

bzw.

${}V=Z+{\frac {-5-{\sqrt {5}}}{{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}\,}}{\left(-{\sqrt {5}}+4\right)}}}\,$

liefert

${}{\begin{aligned}{\left({\sqrt {5}}+4\right)}U^{2}+{\frac {-10+2{\sqrt {5}}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}U&={\left({\sqrt {5}}+4\right)}W^{2}+{\frac {-10+2{\sqrt {5}}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}\cdot {\frac {5-{\sqrt {5}}}{{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}\,}}{\left({\sqrt {5}}+4\right)}}}\\&={\left({\sqrt {5}}+4\right)}W^{2}-{\frac {60-20{\sqrt {5}}}{{\left(10+2{\sqrt {5}}\right)}{\left({\sqrt {5}}+4\right)}}}\,\end{aligned}}$

und

${}{\begin{aligned}{\left(-{\sqrt {5}}+4\right)}V^{2}+{\frac {10+2{\sqrt {5}}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}V&={\left(-{\sqrt {5}}+4\right)}Z^{2}+{\frac {10+2{\sqrt {5}}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}\cdot {\frac {-5-{\sqrt {5}}}{{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}\,}}{\left(-{\sqrt {5}}+4\right)}}}\\&={\left(-{\sqrt {5}}+4\right)}Z^{2}-{\frac {60+20{\sqrt {5}}}{{\left(10-2{\sqrt {5}}\right)}{\left(-{\sqrt {5}}+4\right)}}}.\,\end{aligned}}$

Insgesamt ist

${}{\begin{aligned}F&={\left({\sqrt {5}}+4\right)}W^{2}+{\left(-{\sqrt {5}}+4\right)}Z^{2}-{\frac {60-20{\sqrt {5}}}{{\left(10+2{\sqrt {5}}\right)}{\left({\sqrt {5}}+4\right)}}}-{\frac {60+20{\sqrt {5}}}{{\left(10-2{\sqrt {5}}\right)}{\left(-{\sqrt {5}}+4\right)}}}-7.\\\,\end{aligned}}$