Quadratreste/Zolotareff/Fakt

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und sei ${}k$ eine zu ${}p$ teilerfremde natürliche Zahl. Es sei

$\pi _{k}\colon {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\,x\longmapsto kx,$

die zu ${}k$ gehörende Permutation auf der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ und ${}\operatorname {sgn} (\pi _{k})$ das Signum dieser Permutation.

Dann ist

${}\left({\frac {k}{p}}\right)=\operatorname {sgn} (\pi _{k})\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen