Quadratreste/Zolotareff/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl und sei ${}k$ eine zu ${}p$ teilerfremde natürliche Zahl. Es sei

$\pi _{k}\colon {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times },\,x\longmapsto kx,$

die zu ${}k$ gehörende Permutation auf der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ und ${}\operatorname {sgn} (\pi _{k})$ das Signum dieser Permutation. Zeige

${}\left({\frac {k}{p}}\right)=\operatorname {sgn} (\pi _{k})\,.$

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