Quasiaffine Varietät/Algebraisch abgeschlossener Körper/Algebraische (reguläre) Funktion auf offener Menge/Punktweise und global/Definition

Algebraische Funktionen

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei  ${}V=V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  eine affine Varietät. Es sei  ${}P\in V$  ein Punkt,  ${}U\subseteq V$  eine Zariski-offene Menge mit  ${}P\in U$  und es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$ eine Funktion. Dann heißt ${}f$ algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt ${}P$, wenn es Elemente  ${}G,H\in R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$  gibt mit  ${}P\in D(H)\subseteq U$  und mit

$f(Q)={\frac {G(Q)}{H(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H).$

Die Funktion ${}f$ heißt algebraisch (oder algebraisch auf ${}U$ ), wenn ${}f$ in jedem Punkt von ${}U$ algebraisch ist.