Quasihomogener Ring/Euler-Derivation/Bemerkung

Es sei $R$ ein $ℤ$ -graduierter Ring. Die Euler-Derivation $E$ ist die $R_{0}$ -Derivation, die ein homogenes Element $h$ vom Grad $d$ auf $d h$ abbildet. Daher wird $\sum_{i} h_{i}$ auf $\sum_{i} i h_{i}$ abgebildet. Es liegt in der Tat eine Derivation vom Grad $0$ vor, wobei die Produktregel für homogene Elemente auf

E (h_{d} \cdot g_{e}) = (d + e) (h_{d} g_{e}) = d h_{d} g_{e} + e h_{d} g_{e} = g_{e} E (h_{d}) + h_{d} E (g_{e})

beruht. Wenn $R$ als Restklassenring eines graduierten Polynomringes modulo einem homogenen Ideal vorliegt, so ist die Euler-Derivation gleich

E = \sum_{i = 1}^{n} Grad (X_{i}) X_{i} \partial_{i} .

Für ein Monom $X^{ν}$ ist ja

\begin{matrix} E (X^{ν}) & = (\sum_{i = 1}^{n} Grad (X_{i}) X_{i} \partial_{i}) (X^{ν}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} Grad (X_{i}) ν_{i} X^{ν} \\ = Grad (X^{ν}) X^{ν} . \end{matrix}